Математика. 6 класс · Виленкин, Жохов, Чесноков · § 8

Упражнение 2.106 к § 8

§ 8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел · тема: Наименьшее общее кратное

Задача 1

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) 1) Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных; б) чётное и нечётное; в) два простых; г) простое и составное; д) два последовательных натуральных?

Решение

а) Два чётных числа оба делятся на 2, их НОД не меньше 2 — взаимно простыми быть не могут.

б) Могут: например, 4 и 9, НОД $$(4, 9) = 1$$ .

в) Могут: например, 3 и 7, НОД $$(3, 7) = 1$$ .

г) Могут: например, 5 и 8, НОД $$(5, 8) = 1$$ .

д) Могут: например, 14 и 15, НОД $$(14, 15) = 1$$ .

Ответ

б), в), г), д)

Почему так

Числа взаимно простые, если их НОД равен 1; чтобы показать, что такое возможно, достаточно одного примера.

Подробнее — в теме «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа».

Задача 2

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) 2) Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных; б) чётное и нечётное; в) два простых; г) простое и составное; д) два последовательных натуральных?

Решение

а) Никогда: оба делятся на 2.

б) Не всегда: 6 и 9 имеют общий делитель 3.

в) Всегда (если простые числа разные): у простого числа делители только 1 и оно само, поэтому общий делитель двух разных простых чисел — только 1.

г) Не всегда: 3 и 6 имеют общий делитель 3.

д) Всегда: если число делит $$k$$ и $$k + 1$$ , то оно делит и их разность $$(k + 1) - k = 1$$ , то есть равно 1.

Ответ

в) два различных простых числа; д) два последовательных натуральных числа

Почему так

Для «всегда» нужно рассуждение для любых чисел, а для опровержения достаточно одного контрпримера.

Подробнее — в теме «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки