Задача 1
Условие (кратко)
Найти НОД всех двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами.
Решение
Двузначные числа из одинаковых цифр: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
Каждое из них равно \(11 \cdot a\), где \(a\) — цифра от 1 до 9: \(22 = 11 \cdot 2\), …, \(99 = 11 \cdot 9\). Значит, все они делятся на 11.
Больше 11 общий делитель быть не может: он должен делить само число 11.
Значит, НОД всех этих чисел равен 11.
Ответ
11
Почему так
Все числа вида «две одинаковые цифры» кратны 11, а наибольший делитель самого числа 11 — это 11.
Подробнее — в теме «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа».