Упражнение 2.118 к § 8

Просматриваем таблицу простых чисел до 500 и выписываем соседние простые числа, отличающиеся на 2:

3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61; 71 и 73; 101 и 103; 107 и 109; 137 и 139; 149 и 151; 179 и 181; 191 и 193; 197 и 199; 227 и 229; 239 и 241; 269 и 271; 281 и 283; 311 и 313; 347 и 349; 419 и 421; 431 и 433; 461 и 463.

Следующая пара, 521 и 523, уже больше 500. Всего получилось 24 пары.

1. При \(n = 87\) получаем \(6 \cdot 87 - 1 = 521\), \(6 \cdot 87 + 1 = 523\).

2. При \(n = 135\) получаем \(6 \cdot 135 - 1 = 809\), \(6 \cdot 135 + 1 = 811\).

3. При \(n = 165\) получаем \(6 \cdot 165 - 1 = 989\), \(6 \cdot 165 + 1 = 991\).

По таблице простых чисел 521, 523, 809, 811 и 991 — простые, поэтому первые две пары — близнецы. А \(989 = 23 \cdot 43\) — составное число, так что пара 989 и 991 близнецами не является: формула даёт лишь «кандидатов» в близнецы (это и обсуждается в пункте в).

Оба числа двузначные при \(k\) от 2 до 16. Выпишем пары и отметим составные числа:

\(k = 2\): 11 и 13 — близнецы; \(k = 3\): 17 и 19 — близнецы; \(k = 4\): 23 и 25, \(25 = 5 \cdot 5\); \(k = 5\): 29 и 31 — близнецы; \(k = 6\): 35 и 37, \(35 = 5 \cdot 7\); \(k = 7\): 41 и 43 — близнецы; \(k = 8\): 47 и 49, \(49 = 7 \cdot 7\); \(k = 9\): 53 и 55, \(55 = 5 \cdot 11\); \(k = 10\): 59 и 61 — близнецы; \(k = 11\): 65 и 67, \(65 = 5 \cdot 13\); \(k = 12\): 71 и 73 — близнецы; \(k = 13\): 77 и 79, \(77 = 7 \cdot 11\); \(k = 14\): 83 и 85, \(85 = 5 \cdot 17\); \(k = 15\): 89 и 91, \(91 = 7 \cdot 13\); \(k = 16\): 95 и 97, \(95 = 5 \cdot 19\).

Не близнецы — 9 пар.