Математика 6 класс Виленкин, Жохов, Чесноков, Вопросы и задачи на повторение, задание П.13

Задача 1

Условие (кратко)

а) Имеет ли отрезок ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Отрезок AB имеет две оси симметрии:

прямую, перпендикулярную AB и проходящую через его середину: при перегибе по ней точка A совпадает с точкой B;
прямую AB, на которой лежит отрезок: при перегибе по ней каждая точка отрезка остаётся на месте.

В тетради: начертите отрезок, отметьте середину, через неё проведите перпендикуляр угольником и продолжите сам отрезок в прямую.

Ответ

Да, две оси — перпендикуляр через середину отрезка и прямая, содержащая отрезок

Почему так

Ось симметрии — прямая, при перегибе по которой фигура совмещается сама с собой.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Имеет ли луч ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Луч имеет одну ось симметрии — прямую, на которой он лежит: при перегибе по ней луч остаётся на месте.

Другой оси нет: луч имеет начало только с одной стороны, и любая другая прямая отразит его в луч другого направления или с другим началом.

Ответ

Да, одна — прямая, содержащая луч

Почему так

У луча есть начало только с одной стороны, поэтому симметричен он лишь относительно своей прямой.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Имеет ли прямая ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Прямая симметрична относительно самой себя и относительно любой прямой, перпендикулярной ей: при перегибе по перпендикуляру прямая ложится сама на себя.

Перпендикуляров можно провести сколько угодно, значит, осей симметрии бесконечно много. В тетради изобразите прямую и несколько перпендикуляров к ней.

Ответ

Да, бесконечно много — сама прямая и любая перпендикулярная ей прямая

Почему так

Перпендикуляр к прямой переводит её в себя, а таких перпендикуляров бесконечно много.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Имеет ли разносторонний треугольник ось (оси) симметрии?

Решение

Если бы у треугольника была ось симметрии, она совмещала бы две его стороны, и эти стороны были бы равны. У разностороннего треугольника все стороны разные, поэтому осей симметрии у него нет.

Ответ

Нет

Почему так

Ось симметрии треугольника совмещает две его стороны, значит, они должны быть равны.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Имеет ли равносторонний треугольник ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии: каждая проходит через вершину и середину противолежащей стороны.

В тетради: в равностороннем треугольнике соедините каждую вершину с серединой противоположной стороны — три прямые пересекутся в одной точке.

Ответ

Да, три оси

Почему так

У равностороннего треугольника все стороны равны, поэтому через каждую вершину проходит ось, совмещающая две соседние стороны.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Имеет ли квадрат ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Квадрат имеет четыре оси симметрии: две прямые, проходящие через середины противоположных сторон, и две диагонали.

Проверка перегибом: квадрат, вырезанный из бумаги, складывается пополам точно по каждой из этих четырёх линий.

Ответ

Да, четыре оси — две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон

Почему так

У квадрата равны все стороны и все углы, поэтому он совмещается с собой и при перегибе по диагонали.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Имеет ли прямоугольник ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Прямоугольник, не являющийся квадратом, имеет две оси симметрии — прямые, проходящие через середины противоположных сторон.

Диагональ осью симметрии не является: при перегибе по ней длинная сторона ляжет на короткую, и углы не совпадут. Если прямоугольник — квадрат, осей четыре (см. е).

Ответ

Да, две оси — прямые через середины противоположных сторон

Почему так

Ось прямоугольника должна совмещать равные стороны, а диагональ совмещала бы неравные.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Имеет ли окружность ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Любая прямая, проходящая через центр окружности, — её ось симметрии: при перегибе по диаметру две половины окружности совпадают.

Через центр можно провести сколько угодно прямых, поэтому осей бесконечно много. В тетради изобразите окружность и несколько диаметров.

Ответ

Да, бесконечно много — любая прямая, проходящая через центр

Почему так

Все точки окружности одинаково удалены от центра, поэтому любой диаметр делит её на две совпадающие при перегибе половины.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».

Задача 9

Условие (кратко)

и) Имеет ли круг ось (оси) симметрии? Если имеет, изобразить их в тетради.

Решение

Как и у окружности, осью симметрии круга служит любая прямая, проходящая через его центр. Таких прямых бесконечно много.

Ответ

Да, бесконечно много — любая прямая, проходящая через центр

Почему так

Круг ограничен окружностью, поэтому у него те же оси симметрии — все прямые через центр.

Подробнее — в теме «Осевая и центральная симметрия».