Доказываем формулу 1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = n². Что нужно получить в шаге индукции?

1 + 3 + … + (2k + 1) = k² + 1

Проверь себя: Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена

Какая из последовательностей — геометрическая прогрессия?

А)1; 3; 5; 7
Б)2; 4; 8; 16
В)1; 4; 9; 16
Г)3; 0; 0; 0

Показать ответ

Ответ: Б) 2; 4; 8; 16

В последовательности 2; 4; 8; 16 каждый член вдвое больше предыдущего, $$q = 2$$ . Последовательность 1; 3; 5; 7 — арифметическая, а в геометрической прогрессии нулей не бывает.

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена

Геометрическая прогрессия: $$b_1 = 2$$ , $$q = 3$$ . Чему равен $$b_4$$ ?

Показать ответ

Ответ: 54

$b_4 = b_1 q^3 = 2 \cdot 27 = 54$ .

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена

Какие утверждения о геометрической прогрессии верны?

А)Знаменатель может быть отрицательным
Б)Знаменатель может быть равен нулю
В)Все члены прогрессии отличны от нуля
Г)Квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению соседних членов

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Знаменатель может быть отрицательным; В) Все члены прогрессии отличны от нуля; Г) Квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению соседних членов

По определению $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$ , поэтому нулевых членов нет; $$q$$ может быть отрицательным — тогда знаки чередуются. Свойство: $b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$ .

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена

В геометрической прогрессии $$b_1 = -3$$ , $$q = -2$$ . Какой знак у $b_{10}$ ?

А)Плюс
Б)Минус
В)Ноль
Г)Определить нельзя

Показать ответ

Ответ: А) Плюс

$b_{10} = b_1 q^9 = -3 \cdot (-2)^9 = -3 \cdot (-512) = 1536$ : нечётная степень отрицательного $$q$$ отрицательна, а минус на минус даёт плюс.

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена

На вклад положили 10 000 р. под 10 % годовых, проценты каждый год начисляются на накопленную сумму. Сколько рублей будет на счёте через 2 года?

Показать ответ

Ответ: 12100

Каждый год сумма умножается на $$1{,}1$$ , поэтому $10\,000 \cdot 1{,}1^2 = 12\,100$ р., а не $12\,000$ р., как при простых процентах.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

По какой формуле находят сумму первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $q \ne 1$ ?

А)Sₙ = b₁qⁿ⁻¹
Б)Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
В)Sₙ = (b₁ + bₙ)n/2
Г)Sₙ = nb₁

Показать ответ

Ответ: Б) Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)

$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ . Первая формула — это $$n$$ -й член, третья — сумма арифметической прогрессии, четвёртая верна только при $$q = 1$$ .

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии с $$b_1 = 1$$ , $$q = 2$$ .

Показать ответ

Ответ: 31

$S_5 = \dfrac{2^5 - 1}{2 - 1} = 31$ , или просто $$1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$$ .

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Какие утверждения верны для геометрической прогрессии?

А)При q = 1 сумма первых n членов равна nb₁
Б)При q ≠ 1 сумма равна (bₙq − b₁)/(q − 1)
В)Формулу b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) можно применять и при q = 1
Г)При q ≠ 1 сумма равна b₁(1 − qⁿ)/(1 − q)

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) При q = 1 сумма первых n членов равна nb₁; Б) При q ≠ 1 сумма равна (bₙq − b₁)/(q − 1); Г) При q ≠ 1 сумма равна b₁(1 − qⁿ)/(1 − q)

При $$q = 1$$ в формуле получился бы ноль в знаменателе, а все члены равны $$b_1$$ , поэтому $$S_n = nb_1$$ . Последняя запись — та же формула, у дроби просто сменили знаки числителя и знаменателя.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислите сумму $$3 + 6 + 12 + 24 + 48$$ .

Показать ответ

Ответ: 93

$$b_1 = 3$$ , $$q = 2$$ , $$n = 5$$ , $S_5 = 3(2^5 - 1) = 3 \cdot 31 = 93$ .

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Чему равна сумма первых десяти членов геометрической прогрессии с $$b_1 = 5$$ и $$q = -1$$ ?

А)0
Б)50
В)5
Г)−50

Показать ответ

Ответ: А) 0

Члены чередуются, $5, -5, 5, -5, \ldots$ , и каждая пара даёт ноль. По формуле $S_{10} = \dfrac{5\left((-1)^{10} - 1\right)}{-1 - 1} = 0$ .

Метод математической индукции

Что проверяют в базе индукции (в первой части доказательства)?

А)Что утверждение верно при n = k + 1
Б)Что утверждение верно при самом первом значении n, обычно n = 1
В)Что утверждение верно при n = 1, 2, 3, …, 100
Г)Что из n = k следует n = k + 1

Показать ответ

Ответ: Б) Что утверждение верно при самом первом значении n, обычно n = 1

База — проверка первого значения. Переход от $$n = k$$ к $$n = k + 1$$ — это шаг индукции.

Метод математической индукции

Ученик проверил формулу на компьютере для всех n от 1 до миллиона, и она везде оказалась верной. Доказана ли она для любого натурального n?

А)Да, миллиона проверок достаточно
Б)Да, если проверены и чётные, и нечётные n
В)Нет, проверка конечного числа случаев не доказывает утверждение для всех n

Показать ответ

Ответ: В) Нет, проверка конечного числа случаев не доказывает утверждение для всех n

Натуральных чисел бесконечно много, а проверок — конечное число. Нужен шаг индукции, который годится для любого $$k$$ .

Метод математической индукции

Какие части обязательно должны быть в доказательстве методом математической индукции?

А)Проверка утверждения при первом значении n
Б)Проверка утверждения при n = 2 и n = 3
В)Доказательство, что из верности при n = k следует верность при n = k + 1
Г)Вывод со ссылкой на принцип математической индукции

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Проверка утверждения при первом значении n; В) Доказательство, что из верности при n = k следует верность при n = k + 1; Г) Вывод со ссылкой на принцип математической индукции

Нужны база, шаг и вывод. Проверка при $$n = 2$$ и $$n = 3$$ полезна для самоконтроля, но не обязательна.

Метод математической индукции

Доказываем формулу $1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = n^2$ . Что нужно получить в шаге индукции?

А)1 + 3 + … + (2k − 1) = k²
Б)1 + 3 + … + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)²
В)1 + 3 + … + (2k + 1) = k² + 1
Г)(2k + 1) = (k + 1)²

Показать ответ

Ответ: Б) 1 + 3 + … + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)²

Первое равенство — предположение индукции. Доказать нужно ту же формулу при $$n = k + 1$$ ; последнее слагаемое тогда равно $$2(k + 1) - 1 = 2k + 1$$ .

Метод математической индукции

По формуле $1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 40.

Показать ответ

Ответ: 820

$\dfrac{40 \cdot 41}{2} = 820$ .