Какие утверждения верны?

Чем длиннее нить маятника, тем больше период

За одно полное колебание тело проходит путь 4A

Период и частота связаны формулой T = 1/ν

Амплитуду измеряют в секундах

Два одинаковых маятника одновременно проходят положение равновесия, но движутся в разные стороны. Как они колеблются?

С разной частотой

С разной амплитудой

Амплитуда, период, частота — 9 класс, физика: объяснение, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Колебательное движение. Свободные колебания

Коротко о главном

Колебание описывают четыре величины: амплитуда $$A$$ — наибольшее отклонение от положения равновесия, период $$T$$ — время одного полного колебания, частота $\nu$ — число колебаний за секунду и фаза — в какой стадии колебания находится тело. Период и частота взаимно обратны:

T = \dfrac{1}{\nu}, \qquad \nu = \dfrac{1}{T}

Подробное объяснение

Раскачайте ребёнка на качелях сначала слегка, а потом посильнее. Во втором случае качели отлетают дальше — у них больше размах. При этом туда-обратно они ходят почти с тем же темпом. Значит, у колебания есть как минимум две разные характеристики: «насколько далеко» и «как быстро повторяется».

Амплитуда

Амплитуда $$A$$ — наибольшее (по модулю) отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Для маятника это расстояние от нижней точки до крайнего положения. Её измеряют в метрах или сантиметрах. Амплитуду маятника можно выразить и углом отклонения нити в градусах.

За одно полное колебание тело проходит путь в четыре амплитуды: из середины к одному краю ( $$A$$ ), обратно в середину ( $$A$$ ), к другому краю ( $$A$$ ) и снова в середину ( $$A$$ ).

\[s_1 = 4A\]

Слева нитяной маятник: амплитуда A — расстояние от положения равновесия до крайнего положения. Справа график x(t): на нём отмечены амплитуда A и период T — время одного полного колебания. — Амплитуда — наибольшее отклонение от положения равновесия, период — время одного полного колебания.

Период и частота

Период $$T$$ — время, за которое тело совершает одно полное колебание. Единица — секунда (с). Если за время $$t$$ тело сделало $$N$$ колебаний, то

T = \dfrac{t}{N}

Частота $\nu$ (греческая буква «ню») — число колебаний за единицу времени:

\nu = \dfrac{N}{t}

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — одно колебание в секунду. Струна гитары колеблется сотни раз в секунду, поэтому её частота — сотни герц, а маятник больших часов — меньше одного герца.

Чем больше период, тем меньше частота: если одно колебание длится 0,5 с, то за секунду их успевает пройти два. Поэтому $T = 1/\nu$ и $\nu = 1/T$ .

У нитяного маятника период зависит от длины нити: чем длиннее нить, тем больше период и меньше частота. Свободные колебания без трения и сопротивления воздуха называют собственными, а их частоту — собственной частотой системы. У пружинного маятника она зависит от массы груза и жёсткости пружины.

Фаза

Возьмём два одинаковых маятника с одной частотой и амплитудой. Если они всё время отклонены в одну сторону и движутся одинаково, говорят, что они колеблются в одинаковых фазах. Если в любой момент их скорости направлены противоположно (один идёт вправо, другой влево), они колеблются в противоположных фазах. Все промежуточные случаи — колебания с разностью фаз: один маятник немного опережает другой. Фаза показывает, в какой стадии колебания находится тело в данный момент. Формулу для неё изучают в старших классах.

Как решать задачи

Выпишите, что дано: число колебаний $$N$$ , время $$t$$ , частота $\nu$ , период $$T$$ , амплитуда $$A$$ .
Переведите единицы: минуты — в секунды, при необходимости сантиметры — в метры.
Найдите период или частоту: $$T = t/N$$ , $\nu = N/t$ , $T = 1/\nu$ .
Если нужен путь, найдите число колебаний $$N = t/T$$ и умножьте на $$4A$$ .
Проверьте смысл ответа: большая частота — значит маленький период, и наоборот.

Разобранные примеры

База

Период и частота качелей

Условие

Качели совершили 12 полных колебаний за 36 с. Найдите период и частоту колебаний.

Дано

$$N = 12$$
$$t = 36$$ с

Найти

$$T$$
$\nu$

Решение

$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{36}{12} = 3$ с.

$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ Гц.

Ответ: 3 с; примерно 0,33 Гц

Средний

Путь груза за несколько колебаний

Условие

Груз на пружине колеблется с амплитудой 6 см и периодом 0,4 с. Какой путь он пройдёт за 2 с?

Дано

$$A = 6$$ см
$$T = 0{,}4$$ с
$$t = 2$$ с

Найти

$$s$$

Решение

Число колебаний: $N = \dfrac{t}{T} = \dfrac{2}{0{,}4} = 5$ .

За одно колебание путь $$4A = 24$$ см, за пять: $s = 5 \cdot 24 = 120$ см.

Ответ: 120 см = 1,2 м

Сложный

Какой маятник длиннее

Условие

Первый маятник колеблется с частотой 0,5 Гц, второй — с периодом 1 с. У какого нить длиннее? Сколько колебаний сделает каждый за 10 с?

Дано

$\nu_1 = 0{,}5$ Гц
$$T_2 = 1$$ с
$$t = 10$$ с

Найти

$$N_1$$
$$N_2$$

Решение

Период первого: $T_1 = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$ с. Он больше, чем у второго, а период тем больше, чем длиннее нить, — значит, нить длиннее у первого.

$N_1 = \nu_1 t = 0{,}5 \cdot 10 = 5$ ; $N_2 = \dfrac{t}{T_2} = \dfrac{10}{1} = 10$ .

Ответ: Нить длиннее у первого; 5 и 10 колебаний

Типичные ошибки

Путают период и частоту

Почему неверно

Ученик делит число колебаний на время и называет это периодом. Получается частота, а не период: $$N/t$$ — сколько колебаний за секунду.

Как правильно

Период — время одного колебания, поэтому время делят на число колебаний: $$T = t/N$$ . Проверка по единицам: у периода секунды, у частоты — 1/с, то есть герцы.

Считают, что за полное колебание путь равен 2A

Почему неверно

Путь от одного крайнего положения до другого — это только половина колебания. Тело ещё должно вернуться назад.

Как правильно

Полное колебание — возврат в то же положение с той же скоростью. Путь за него равен $$4A$$ , за половину — $$2A$$ , за четверть (от равновесия до края) — $$A$$ .

Забывают перевести минуты в секунды

Почему неверно

Если подставить в $\nu = N/t$ время в минутах, получится число колебаний в минуту, а не герцы. Ответ окажется в 60 раз больше верного периода или меньше верной частоты.

Как правильно

Сначала переведите время в секунды: 1 мин = 60 с. Только тогда частота выйдет в герцах.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Маятник настенных часов совершил 30 полных колебаний за 60 с. Найдите период колебаний.

Подсказка

Период — время одного колебания. Разделите всё время на число колебаний.

Решение

$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{60}{30} = 2$ с.

Ответ

2 с

База Задача 2

Крылья комара колеблются с частотой 500 Гц. Каков период этих колебаний?

Подсказка

Период и частота — взаимно обратные величины.

Решение

$T = \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{1}{500} = 0{,}002$ с.

Ответ

0,002 с

Средний Задача 3

Груз на пружине колеблется с амплитудой 4 см. Какой путь он пройдёт за 5 полных колебаний?

Подсказка

За одно полное колебание тело проходит путь, равный четырём амплитудам.

Решение

За одно колебание путь $s_1 = 4A = 4 \cdot 4 = 16$ см.

За 5 колебаний $s = 5 \cdot 16 = 80$ см.

Ответ

80 см

Средний Задача 4

Струна гитары колеблется с частотой 220 Гц. Сколько колебаний она совершит за 0,5 мин?

Подсказка

Переведите время в секунды. Частота — число колебаний за 1 с.

Решение

$$t = 0{,}5$$ мин $$= 30$$ с.

$N = \nu t = 220 \cdot 30 = 6600$ .

Ответ

6600 колебаний

Сложный Задача 5

Груз на пружине колеблется с амплитудой 5 см и частотой 2 Гц. Какой путь он пройдёт за 3 с?

Подсказка

Найдите число колебаний за 3 с, а затем умножьте на путь за одно колебание.

Решение

Число колебаний $N = \nu t = 2 \cdot 3 = 6$ .

Путь $s = N \cdot 4A = 6 \cdot 4 \cdot 5 = 120$ см $$= 1{,}2$$ м.

Ответ

120 см (1,2 м)

Сложный Задача 6

Два одинаковых маятника качаются с одной частотой. Когда первый проходит положение равновесия, второй находится в крайнем правом положении. Колеблются ли они в одинаковых или в противоположных фазах?

Подсказка

Сравните положения и скорости маятников в один и тот же момент.

Решение

В одинаковых фазах маятники всегда находятся в одинаковых положениях и движутся в одну сторону, в противоположных — зеркально друг другу. Здесь один в середине пути, а другой на краю, поэтому ни то, ни другое не выполняется. Второй маятник отстаёт или опережает первый на четверть периода — это колебания с разностью фаз.

Ответ

Ни в одинаковых, ни в противоположных — между ними есть разность фаз (четверть периода)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Подвесьте на нитке ключи или гайку и качните. Покажите рукой, насколько далеко отходит груз от нижней точки — это амплитуда. Засеките по телефону время 10 колебаний и разделите на 10 — это период. Затем удлините нитку вдвое и повторите: колебания станут медленнее, период вырастет. Качните рядом второй такой же маятник навстречу первому — вот противоположные фазы.

Вопросы для проверки понимания: 1) Что больше у маятника с длинной нитью — период или частота по сравнению с коротким? 2) Период 0,5 с. Сколько колебаний за секунду? 3) Амплитуда 3 см. Какой путь за одно полное колебание?

На что обратить внимание. Ребёнок должен различать период (секунды на одно колебание) и частоту (колебания за секунду) и помнить, что за полное колебание пройдено четыре амплитуды, а не две.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 24	24