Что называют энергией связи ядра?

Минимальную энергию для расщепления ядра на отдельные нуклоны

Энергию движения нуклонов внутри ядра

Энергию электронов атома

Энергию покоя ядра

Какие утверждения верны?

Масса ядра меньше суммы масс его свободных нуклонов

1 а. е. м. соответствует примерно 931,5 МэВ

Энергия связи тем больше, чем больше дефект массы

При соединении нуклонов в ядро энергия поглощается

Ядро содержит Z протонов и N нейтронов. По какой формуле находят дефект массы?

$\Delta m = M_я - (Zm_p + Nm_n)$

$\Delta m = (Z + N) \cdot M_я$

$\Delta m = Zm_n + Nm_p - M_я$

Энергия связи и дефект массы — 9 класс, физика: примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Состав атомного ядра. Ядерные силы

Коротко о главном

Чтобы разобрать ядро на протоны и нейтроны, нужна энергия — энергия связи. Поэтому масса ядра меньше суммы масс его нуклонов; эта разница называется дефектом массы, и она связана с энергией законом Эйнштейна.

\Delta m = (Zm_p + Nm_n) - M_я, \qquad \Delta E = \Delta m\, c^2

Подробное объяснение

Магниты и «потерянная» масса

Представьте два сильных магнита, которые слиплись. Чтобы их разнять, надо приложить усилие — совершить работу. А когда они сами прыгают друг к другу, энергия выделяется: слышен щелчок, магниты нагреваются. С нуклонами в ядре то же самое, только ядерные силы в миллионы раз мощнее, и энергии так много, что это заметно даже по массе.

Энергия связи

Энергия связи ядра — минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы разделить ядро на отдельные, не взаимодействующие протоны и нейтроны. Когда из свободных нуклонов собирается ядро, выделяется ровно такая же энергия — по закону сохранения энергии.

Закон Эйнштейна

В 1905 году Альберт Эйнштейн показал, что у любого тела есть энергия покоя, пропорциональная его массе:

\[E_0 = mc^2\]

Здесь $c = 3 \cdot 10^8$ м/с — скорость света. Если энергия покоя системы изменилась на $\Delta E$ , то её масса изменилась на

\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}.

Когда нуклоны соединяются в ядро, выделившуюся энергию уносят фотоны. Энергия системы уменьшилась — значит, уменьшилась и масса. Поэтому масса ядра всегда меньше суммы масс свободных нуклонов.

Дефект массы

Эту разницу называют дефектом массы:

\Delta m = (Zm_p + Nm_n) - M_я.

$$Z$$ — число протонов (зарядовое число), $$N = A - Z$$ — число нейтронов;
$m_p \approx 1{,}0073$ а. е. м. и $m_n \approx 1{,}0087$ а. е. м. — массы свободных протона и нейтрона;
$$M_я$$ — масса ядра.

Массы ядер удобно измерять в атомных единицах массы: 1 а. е. м. $\approx 1{,}66 \cdot 10^{-27}$ кг. Энергию в ядерной физике часто выражают в мегаэлектронвольтах: 1 МэВ $\approx 1{,}6 \cdot 10^{-13}$ Дж.

Энергия связи через дефект массы

\Delta E = \Delta m\, c^2.

Если $\Delta m$ в килограммах, а $$c$$ в м/с, получится энергия в джоулях. Есть короткий путь: дефекту массы 1 а. е. м. соответствует энергия около 931,5 МэВ. Тогда энергия в МэВ — это просто дефект массы в а. е. м., умноженный на 931,5.

Чтобы сравнивать прочность разных ядер, энергию связи делят на число нуклонов $$A$$ . Получается удельная энергия связи: чем она больше, тем прочнее ядро.

Как решать задачи

По обозначению ядра ${}^{A}_{Z}\text{X}$ найдите $$Z$$ и $$N = A - Z$$ .
Посчитайте массу свободных нуклонов: $$Zm_p + Nm_n$$ .
Вычтите массу ядра — получите $\Delta m$ . Проверьте: число должно быть положительным и маленьким (сотые или десятые доли а. е. м.).
Для ответа в МэВ умножьте $\Delta m$ (в а. е. м.) на 931,5.
Для ответа в джоулях переведите $\Delta m$ в килограммы и умножьте на $c^2 = 9 \cdot 10^{16}$ м²/с².
Если нужна энергия на один нуклон — разделите результат на $$A$$ .

Разобранные примеры

База

Энергия по уменьшению массы

Условие

При образовании ядра масса системы уменьшилась на 5,0·10⁻³⁰ кг. Какая энергия выделилась?

Дано

$\Delta m = 5{,}0 \cdot 10^{-30}$ кг
$c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти

$\Delta E$

Решение

$\Delta E = \Delta m c^2 = 5{,}0 \cdot 10^{-30} \cdot 9 \cdot 10^{16} = 4{,}5 \cdot 10^{-13}$ Дж. Это примерно 2,8 МэВ.

Ответ: 4,5·10⁻¹³ Дж

Средний

Энергия связи ядра гелия

Условие

Ядро гелия ${}^{4}_{2}\text{He}$ имеет массу 4,0015 а. е. м. Найдите дефект массы и энергию связи. Массы протона и нейтрона 1,0073 и 1,0087 а. е. м.

Дано

$$Z = 2$$
$$N = 4 - 2 = 2$$
$M_я = 4{,}0015$ а. е. м

Найти

$\Delta m$
$\Delta E$

Решение

$\Delta m = 2 \cdot 1{,}0073 + 2 \cdot 1{,}0087 - 4{,}0015 = 4{,}0320 - 4{,}0015 = 0{,}0305$ а. е. м.

$\Delta E = 0{,}0305 \cdot 931{,}5 \approx 28{,}4$ МэВ.

Ответ: 0,0305 а. е. м.; ≈ 28,4 МэВ

Сложный

Какое ядро прочнее

Условие

Ядро лития ${}^{7}_{3}\text{Li}$ имеет массу 7,0144 а. е. м. Найдите удельную энергию связи и сравните с гелием из предыдущего примера.

Дано

$$Z = 3$$
$$N = 7 - 3 = 4$$
$M_я = 7{,}0144$ а. е. м

Найти

$\Delta E / A$

Решение

$\Delta m = 3 \cdot 1{,}0073 + 4 \cdot 1{,}0087 - 7{,}0144 = 7{,}0567 - 7{,}0144 = 0{,}0423$ а. е. м.

$\Delta E = 0{,}0423 \cdot 931{,}5 \approx 39{,}4$ МэВ, на нуклон: $39{,}4 / 7 \approx 5{,}6$ МэВ.

У гелия: $28{,}4 / 4 \approx 7{,}1$ МэВ на нуклон. Полная энергия связи у лития больше (в нём больше нуклонов), но каждый нуклон связан слабее, чем в гелии.

Ответ: ≈ 5,6 МэВ на нуклон; ядро гелия прочнее

Типичные ошибки

Вычитают наоборот и получают отрицательный дефект массы

Почему неверно

Ядро всегда легче своих свободных нуклонов, поэтому формула «масса ядра минус нуклоны» даёт отрицательное число и бессмысленную отрицательную энергию связи.

Как правильно

Сначала масса всех свободных нуклонов, потом минус масса ядра: $\Delta m = (Zm_p + Nm_n) - M_я > 0$ .

Путают число нейтронов с массовым числом

Почему неверно

В записи ${}^{7}_{3}\text{Li}$ верхнее число 7 — это все нуклоны, а не нейтроны. Если взять $$N = 7$$ , получится лишних 3 нейтрона, и дефект массы выйдет огромным.

Как правильно

Число нейтронов $$N = A - Z$$ : для лития $$7 - 3 = 4$$ .

Подставляют а. е. м. в формулу $E = mc^2$

Почему неверно

Скорость света дана в м/с, поэтому масса должна быть в килограммах. Если подставить 0,03 а. е. м. как 0,03 кг, энергия завысится примерно в $10^{27}$ раз.

Как правильно

Либо переведите массу в килограммы (умножьте на $1{,}66 \cdot 10^{-27}$ ) и считайте в джоулях, либо сразу умножайте дефект массы в а. е. м. на 931,5 МэВ.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

При образовании ядра масса системы уменьшилась на 2,0·10⁻²⁹ кг. Какая энергия выделилась? Скорость света 3·10⁸ м/с.

Подсказка

Энергия равна дефекту массы, умноженному на квадрат скорости света.

Решение

$\Delta E = \Delta m c^2 = 2{,}0 \cdot 10^{-29} \cdot (3 \cdot 10^8)^2 = 2{,}0 \cdot 10^{-29} \cdot 9 \cdot 10^{16} = 1{,}8 \cdot 10^{-12}$ Дж.

Ответ

1,8·10⁻¹² Дж

База Задача 2

Дефект массы ядра равен 0,0100 а. е. м. Найдите энергию связи в мегаэлектронвольтах, если 1 а. е. м. соответствует 931,5 МэВ.

Подсказка

Каждая атомная единица массы «стоит» 931,5 МэВ.

Решение

$\Delta E = 0{,}0100 \cdot 931{,}5 \approx 9{,}3$ МэВ.

Ответ

≈ 9,3 МэВ

Средний Задача 3

Ядро трития ³H содержит 1 протон и 2 нейтрона, его масса 3,0155 а. е. м. Масса протона 1,0073 а. е. м., нейтрона 1,0087 а. е. м. Найдите дефект массы и энергию связи ядра (1 а. е. м. ≈ 931,5 МэВ).

Подсказка

Сначала сложите массы всех нуклонов, потом вычтите массу ядра.

Решение

$\Delta m = (1 \cdot 1{,}0073 + 2 \cdot 1{,}0087) - 3{,}0155 = 3{,}0247 - 3{,}0155 = 0{,}0092$ а. е. м.

$\Delta E = 0{,}0092 \cdot 931{,}5 \approx 8{,}6$ МэВ.

Ответ

0,0092 а. е. м.; ≈ 8,6 МэВ

Средний Задача 4

В ядерной реакции выделилось 4,5·10⁻¹² Дж энергии. На сколько килограммов уменьшилась суммарная масса частиц? Скорость света 3·10⁸ м/с.

Подсказка

Выразите массу из формулы $\Delta E = \Delta m c^2$ .

Решение

$\Delta m = \dfrac{\Delta E}{c^2} = \dfrac{4{,}5 \cdot 10^{-12}}{9 \cdot 10^{16}} = 5{,}0 \cdot 10^{-29}$ кг.

Ответ

5,0·10⁻²⁹ кг

Сложный Задача 5

Ядро углерода ¹²C (6 протонов, 6 нейтронов) имеет массу 11,9967 а. е. м. Масса протона 1,0073 а. е. м., нейтрона 1,0087 а. е. м. Найдите энергию связи ядра и энергию связи в расчёте на один нуклон (1 а. е. м. ≈ 931,5 МэВ).

Подсказка

Энергию связи на нуклон получают делением полной энергии связи на массовое число A = 12.

Решение

$\Delta m = 6 \cdot 1{,}0073 + 6 \cdot 1{,}0087 - 11{,}9967 = 12{,}0960 - 11{,}9967 = 0{,}0993$ а. е. м.

$\Delta E = 0{,}0993 \cdot 931{,}5 \approx 92{,}5$ МэВ.

На один нуклон: $92{,}5 / 12 \approx 7{,}7$ МэВ.

Ответ

≈ 92,5 МэВ; ≈ 7,7 МэВ на нуклон

Сложный Задача 6

Ядро разобрали на отдельные протоны и нейтроны, взвесили их и получили массу больше, чем у целого ядра. Не нарушен ли закон сохранения? Откуда взялась «лишняя» масса?

Решение

Чтобы разобрать ядро, ему сообщили энергию, равную энергии связи. По закону Эйнштейна энергия покоя системы выросла на $\Delta E$ , значит, выросла и масса на $\Delta m = \Delta E / c^2$ . Закон сохранения энергии выполняется, а «лишняя» масса — это масса полученной энергии.

Ответ

Не нарушен — масса выросла за счёт энергии, затраченной на расщепление ядра

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите два магнита: слипшиеся магниты трудно разнять — нужно «вложить» энергию. В ядре протоны и нейтроны держатся ещё крепче. По закону Эйнштейна энергия и масса связаны: $$E = mc^2$$ . Когда нуклоны слипаются в ядро, они отдают энергию и вместе с ней чуть-чуть массы — поэтому ядро легче своих частей. Эта недостача и есть дефект массы.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему масса ядра меньше суммы масс его протонов и нейтронов? 2) Как по дефекту массы найти энергию связи? 3) Сколько нейтронов в ядре ${}^{12}_{6}\text{C}$ ?

На что обратить внимание. Главные трудности — порядок вычитания в формуле дефекта массы, нахождение $$N = A - Z$$ и единицы: а. е. м. нельзя подставлять в $$E = mc^2$$ вместо килограммов. Удобный ориентир: 1 а. е. м. ≈ 931,5 МэВ.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 57	—