Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 243

Дополнительные упражнения к главе I

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: (a² + ax + ab + bx)/(a² − ax − ab + bx) · (a² − ax − bx + ab)/(a² + ax − bx − ab).

Решение

Разложим каждый многочлен группировкой:

$$a^2 + ax + ab + bx = a(a + x) + b(a + x) = (a + b)(a + x)$$ ;

$$a^2 - ax - ab + bx = a(a - x) - b(a - x) = (a - b)(a - x)$$ ;

$$a^2 - ax - bx + ab = a(a - x) + b(a - x) = (a + b)(a - x)$$ ;

$$a^2 + ax - bx - ab = a(a + x) - b(a + x) = (a - b)(a + x)$$ .

\dfrac{(a + b)(a + x)}{(a - b)(a - x)} \cdot \dfrac{(a + b)(a - x)}{(a - b)(a + x)} = \dfrac{(a + b)^2}{(a - b)^2}.

Ответ

(a + b)²/(a − b)²

Почему так

Раскладываем многочлены группировкой и сокращаем одинаковые множители в произведении дробей.

Подробнее — в теме «Умножение дробей. Возведение дроби в степень».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить: (x² − bx + ax − ab)/(x² + bx − ax − ab) : (x² + bx + ax + ab)/(x² − bx − ax + ab).

Решение

Разложим группировкой:

$$x^2 - bx + ax - ab = x(x - b) + a(x - b) = (x - b)(x + a)$$ ;

$$x^2 + bx - ax - ab = x(x + b) - a(x + b) = (x + b)(x - a)$$ ;

$$x^2 + bx + ax + ab = (x + b)(x + a)$$ ;

$$x^2 - bx - ax + ab = (x - b)(x - a)$$ .

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\dfrac{(x - b)(x + a)}{(x + b)(x - a)} \cdot \dfrac{(x - b)(x - a)}{(x + b)(x + a)} = \dfrac{(x - b)^2}{(x + b)^2}.

Ответ

(x − b)²/(x + b)²

Почему так

Раскладываем многочлены группировкой, делим, умножая на обратную дробь, и сокращаем.

Подробнее — в теме «Деление дробей».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-243/