Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Чтобы умножить дробь на дробь, перемножают числители и знаменатели, а потом сокращают. Чтобы возвести дробь в степень, возводят в эту степень и числитель, и знаменатель.
Подробное объяснение
С чего начать
Мама оставила на столе половину пирога, и вы съели две трети от этой половины. Какую часть целого пирога вы съели? Нужно найти \(\dfrac{2}{3}\) от \(\dfrac{1}{2}\), то есть умножить: \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\). Числители перемножили, знаменатели перемножили, результат сократили.
Ещё пример: плитка квадратная, сторона \(\dfrac{3}{4}\) м. Её площадь равна \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{3^2}{4^2}=\dfrac{9}{16}\) м². В квадрат пошли и числитель, и знаменатель.
Правило умножения
Рациональные дроби, то есть дроби с буквами, умножаются точно так же, как обыкновенные:
Здесь \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — многочлены, а знаменатели \(b\) и \(d\) не равны нулю. Общий знаменатель искать не нужно: он нужен для сложения и вычитания, а при умножении только мешает.
Если одна из частей — многочлен без знаменателя, его записывают как дробь со знаменателем 1: \(3x\cdot\dfrac{y}{x^2}=\dfrac{3x}{1}\cdot\dfrac{y}{x^2}=\dfrac{3xy}{x^2}=\dfrac{3y}{x}\).
Правило работает и для трёх, и для большего числа дробей: все числители — наверх, все знаменатели — вниз.
Главное — сокращение
После умножения дробь почти всегда можно сократить. Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя. Поэтому, если в дробях есть суммы и разности, их сначала раскладывают на множители: выносят общий множитель за скобки, применяют формулы \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\), \(a^3\pm b^3\).
Удобно не раскрывать произведение в числителе и знаменателе, а сразу записать его под одной чертой и сокращать множители.
Возведение дроби в степень
Степень — это повторное умножение. Например, \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^3}{b^3}\). В общем виде:
Если в числителе или знаменателе стоит произведение, в степень возводится каждый множитель, а у степеней показатели перемножаются: \(\left(\dfrac{2x^3}{y}\right)^2=\dfrac{4x^6}{y^2}\).
Со знаком «минус» перед дробью работает правило для чисел: чётная степень даёт плюс, нечётная оставляет минус.
Как решать
- Если в числителях или знаменателях есть многочлены, разложите их на множители.
- Если есть степень дроби, возведите в неё числитель и знаменатель, следя за знаком.
- Запишите произведение числителей над одной чертой, произведение знаменателей — под ней.
- Сократите общие множители — числа, буквы, скобки.
- Проверьте, что дробь несократима, а «минус» стоит перед дробью.
Разобранные примеры
Произведение дробей с одночленами
Выполните умножение \(\dfrac{4a^2}{9b}\cdot\dfrac{15b^3}{8a}\).
Сокращаем на \(12ab\): получаем \(\dfrac{5ab^2}{6}\).
Сначала разложить на множители
Упростите \(\dfrac{x^2-25}{3x+6}\cdot\dfrac{x+2}{x^2-5x}\).
Раскладываем: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\), \(3x+6=3(x+2)\), \(x^2-5x=x(x-5)\).
Сократили на \((x-5)(x+2)\).
Степень дроби и умножение
Упростите \(\left(-\dfrac{3a^2}{2b}\right)^3\cdot\dfrac{4b^4}{9a^5}\).
Куб — нечётная степень, минус остаётся: \(\left(-\dfrac{3a^2}{2b}\right)^3=-\dfrac{27a^6}{8b^3}\).
Типичные ошибки
Общий знаменатель нужен при сложении и вычитании. При умножении он только удлиняет запись и путает: знаменатели просто перемножаются.
Сразу пишите одну дробь: числитель — произведение числителей, знаменатель — произведение знаменателей. Затем сокращайте.
В записи \(\dfrac{x+2}{x}\cdot\dfrac{x}{x+5}\) нельзя «зачеркнуть» \(x\) в \(x+2\) и \(x+5\): там \(x\) — слагаемое, а не множитель. Сократить можно только целую скобку или множитель всего числителя.
Сокращаем \(x\), стоящий множителем: \(\dfrac{(x+2)\cdot x}{x\cdot(x+5)}=\dfrac{x+2}{x+5}\). Дальше сокращать нечего.
Пишут \(\left(\dfrac{2a}{b}\right)^3=\dfrac{2a^3}{b^3}\), забыв возвести коэффициент 2, или теряют минус у нечётной степени.
В степень идёт каждый множитель числителя и знаменателя: \(\left(\dfrac{2a}{b}\right)^3=\dfrac{8a^3}{b^3}\), а \(\left(-\dfrac{2a}{b}\right)^3=-\dfrac{8a^3}{b^3}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равно произведение \(\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{6}{x^2}\)?
Показать ответ
Ответ: А) \(\dfrac{2}{x}\)
\(\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{6}{x^2}=\dfrac{6x}{3x^2}=\dfrac{2}{x}\). Вариант \(\dfrac{6}{3x}\) верен, но не сокращён до конца.
-
Чему равно \(\left(-\dfrac{a}{b^2}\right)^3\)?
Показать ответ
Ответ: А) \(-\dfrac{a^3}{b^6}\)
Нечётная степень сохраняет знак, а \((b^2)^3=b^6\) — показатели перемножаются.
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Многочлен при умножении на дробь можно записать как дробь со знаменателем 1; В) Квадрат дроби не может быть отрицательным числом
Общий знаменатель нужен для сложения, а не для умножения; в степень возводится и числитель, и знаменатель, \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}\ge 0\).
-
Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2-1}{a}\cdot\dfrac{a}{a+1}\) при \(a=2{,}5\).
Показать ответ
Ответ: 1,5
Выражение упрощается до \(a-1\), при \(a=2{,}5\) получаем \(1{,}5\).
-
Вычислите \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot\dfrac{27}{4}\).
Показать ответ
Ответ: 2
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}\), а \(\dfrac{8}{27}\cdot\dfrac{27}{4}=\dfrac{8}{4}=2\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Выполните умножение \(\dfrac{6x^2}{5y}\cdot\dfrac{10y^2}{9x}\).
Подсказка
Перемножьте числители и знаменатели, затем сократите на общий множитель \(15xy\).
Решение
\(\dfrac{6x^2}{5y}\cdot\dfrac{10y^2}{9x}=\dfrac{60x^2y^2}{45xy}=\dfrac{4xy}{3}\).
Ответ
Возведите дробь в степень \(\left(\dfrac{3m^2}{2n}\right)^3\).
Подсказка
В куб возводятся и числитель, и знаменатель — вместе с числовыми коэффициентами.
Решение
\(\left(\dfrac{3m^2}{2n}\right)^3=\dfrac{3^3(m^2)^3}{2^3n^3}=\dfrac{27m^6}{8n^3}\).
Ответ
Выполните умножение \(\dfrac{x^2-9}{4x}\cdot\dfrac{8x^2}{x+3}\).
Подсказка
Разложите \(x^2-9\) по формуле разности квадратов.
Решение
\(x^2-9=(x-3)(x+3)\), поэтому
\(\dfrac{(x-3)(x+3)\cdot 8x^2}{4x\cdot(x+3)}=2x(x-3)=2x^2-6x\).
Ответ
Упростите выражение \(\dfrac{a^2-ab}{5b}\cdot\dfrac{15b^2}{a^2-b^2}\).
Подсказка
Вынесите \(a\) за скобки в первом числителе и разложите разность квадратов.
Решение
\(\dfrac{a(a-b)\cdot 15b^2}{5b\cdot(a-b)(a+b)}=\dfrac{3ab}{a+b}\).
Ответ
Упростите выражение \(\left(-\dfrac{2x}{y^2}\right)^3\cdot\dfrac{y^7}{4x^2}\).
Подсказка
Сначала возведите дробь в куб — нечётная степень сохраняет знак «минус».
Решение
\(\left(-\dfrac{2x}{y^2}\right)^3=-\dfrac{8x^3}{y^6}\), затем \(-\dfrac{8x^3}{y^6}\cdot\dfrac{y^7}{4x^2}=-\dfrac{8x^3y^7}{4x^2y^6}=-2xy\).
Ответ
Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2-4}{a^2+3a}\cdot\dfrac{a+3}{a+2}\) при \(a=0{,}4\).
Подсказка
Упростите выражение до подстановки числа.
Решение
\(\dfrac{(a-2)(a+2)}{a(a+3)}\cdot\dfrac{a+3}{a+2}=\dfrac{a-2}{a}\).
При \(a=0{,}4\) получаем \(\dfrac{0{,}4-2}{0{,}4}=\dfrac{-1{,}6}{0{,}4}=-4\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги, сложите пополам, а половину — ещё на три части. Закрасьте две из трёх частей половины: это \(\dfrac{2}{3}\) от \(\dfrac{1}{2}\), и на развёрнутом листе видно, что закрашена треть, \(\dfrac{2}{6}\). Так видно, почему числители и знаменатели перемножаются. Для степени нарисуйте квадрат со стороной \(\dfrac{3}{4}\) от клетки 4×4: внутри окажется 9 клеток из 16.
Вопросы для проверки понимания: 1) Нужен ли общий знаменатель, чтобы умножить две дроби? 2) Почему перед умножением выражение \(x^2-9\) полезно разложить на множители? 3) Какой знак будет у \(\left(-\dfrac{a}{b}\right)^4\) и у \(\left(-\dfrac{a}{b}\right)^5\)?
На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются не в правиле, а в сокращении: зачёркивают слагаемые и забывают раскладывать на множители. Попросите ребёнка вслух называть, на что он сокращает, — так ошибки видны сразу.