Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 748

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких x верно равенство (5x + 3)² = 5(x + 3)?

Решение

25x^2 + 30x + 9 = 5x + 15, \quad 25x^2 + 25x - 6 = 0.

D = 25^2 + 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 + 600 = 1225 = 35^2.

x = \dfrac{-25 \pm 35}{50}, \quad x_1 = -1{,}2, \quad x_2 = 0{,}2.

Ответ

x₁ = −1,2, x₂ = 0,2

Почему так

Раскрыв скобки и перенеся всё в одну часть, получаем квадратное уравнение и решаем его по формуле корней.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких x верно равенство (3x + 10)² = 3(x + 10)?

Решение

9x^2 + 60x + 100 = 3x + 30, \quad 9x^2 + 57x + 70 = 0.

D = 57^2 - 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 - 2520 = 729 = 27^2.

x = \dfrac{-57 \pm 27}{18}, \quad x_1 = -\dfrac{84}{18} = -4\dfrac{2}{3}, \quad x_2 = -\dfrac{30}{18} = -1\dfrac{2}{3}.

Ответ

x₁ = −4 2/3, x₂ = −1 2/3

Почему так

Раскрыв скобки и перенеся всё в одну часть, получаем квадратное уравнение и решаем его по формуле корней.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) При каких x верно равенство (3x − 8)² = 3x² − 8x?

Решение

9x^2 - 48x + 64 = 3x^2 - 8x, \quad 6x^2 - 40x + 64 = 0, \quad 3x^2 - 20x + 32 = 0.

\[D = 400 - 384 = 16.\]

x = \dfrac{20 \pm 4}{6}, \quad x_1 = \dfrac{16}{6} = 2\dfrac{2}{3}, \quad x_2 = 4.

Ответ

x₁ = 2 2/3, x₂ = 4

Почему так

Раскрыв скобки и разделив уравнение на 2, решаем квадратное уравнение по формуле корней.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) При каких x верно равенство (4x + 5)² = 5x² + 4x?

Решение

16x^2 + 40x + 25 = 5x^2 + 4x, \quad 11x^2 + 36x + 25 = 0.

D = 36^2 - 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 - 1100 = 196 = 14^2.

x = \dfrac{-36 \pm 14}{22}, \quad x_1 = -\dfrac{50}{22} = -\dfrac{25}{11} = -2\dfrac{3}{11}, \quad x_2 = -1.

Ответ

x₁ = −2 3/11, x₂ = −1

Почему так

Раскрыв скобки и перенеся всё в одну часть, получаем квадратное уравнение и решаем его по формуле корней.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) При каких x верно равенство (5x + 3)² = 5x + 3?

Решение

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель $$(5x + 3)$$ :

(5x + 3)^2 - (5x + 3) = 0, \quad (5x + 3)(5x + 3 - 1) = 0, \quad (5x + 3)(5x + 2) = 0.

\(5x + 3 = 0\)

x = -\dfrac{3}{5}

, или

\(5x + 2 = 0\)

x = -\dfrac{2}{5}

Ответ

x₁ = −3/5, x₂ = −2/5

Почему так

Число, равное своему квадрату, — это 0 или 1, поэтому 5x + 3 = 0 или 5x + 3 = 1.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) При каких x верно равенство (5x + 3)² = (3x + 5)²?

Решение

Квадраты двух чисел равны, если числа равны или противоположны:

$$5x + 3 = 3x + 5$$ , $$2x = 2$$ , $$x = 1$$ ;

$$5x + 3 = -(3x + 5)$$ , $$8x = -8$$ , $$x = -1$$ .

Проверка через квадратное уравнение: $$25x^2 + 30x + 9 = 9x^2 + 30x + 25$$ , $$16x^2 = 16$$ , $x = \pm 1$ .

Ответ

x₁ = −1, x₂ = 1

Почему так

Равенство a² = b² равносильно тому, что a = b или a = −b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) При каких x верно равенство (4x + 5)² = 4(x + 5)²?

Решение

\[16x^2 + 40x + 25 = 4(x^2 + 10x + 25) = 4x^2 + 40x + 100.\]

12x^2 = 75, \quad x^2 = \dfrac{75}{12} = \dfrac{25}{4}, \quad x = \pm\dfrac{5}{2} = \pm 2{,}5.

Ответ

x₁ = −2,5, x₂ = 2,5

Почему так

Слагаемые 40x взаимно уничтожаются, и остаётся неполное квадратное уравнение ax² = c.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) При каких x верно равенство (2x + 10)² = 4(x + 5)²?

Решение

Вынесем 2 из скобки в левой части:

(2x + 10)^2 = \bigl(2(x + 5)\bigr)^2 = 4(x + 5)^2.

Левая часть тождественно равна правой, поэтому равенство верно при любом

\(x\)

Ответ

При любом x

Почему так

Обе части — одно и то же выражение, так что равенство является тождеством.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-748/