Задача 1
Какие из чисел √0,04; √0,025; √0,4; √1,21; √6,4; √0,0036; √0,256; √0,16; √0,000001; √52,9 рациональные, а какие иррациональные?
Решение
Корень рационален, если подкоренное число — квадрат рационального числа.
\(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\), \(\sqrt{0{,}0036} = 0{,}06\), \(\sqrt{0{,}16} = 0{,}4\), \(\sqrt{0{,}000001} = 0{,}001\) — рациональные.
Остальные подкоренные числа запишем дробями: \(0{,}025 = \dfrac{1}{40}\), \(0{,}4 = \dfrac{2}{5}\), \(6{,}4 = \dfrac{32}{5}\), \(0{,}256 = \dfrac{32}{125}\), \(52{,}9 = \dfrac{529}{10}\). В несократимом виде у каждой из них числитель или знаменатель не является квадратом натурального числа (\(40\), \(2\) и \(5\), \(32\), \(125\), \(10\)), поэтому эти дроби — не квадраты рациональных чисел.
Ловушка: в \(0{,}4\) и \(6{,}4\) «цифры квадратные», но \(0{,}2^2 = 0{,}04\), а не \(0{,}4\); \(0{,}8^2 = 0{,}64\), а не \(6{,}4\).
Ответ
Квадратный корень из числа, не являющегося квадратом рационального числа, иррационален.
Подробнее — в теме «Действительные числа».