Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 22

Упражнение 574 к § 22

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь (8a³ − 27)/(9 − 12a + 4a²).

Решение

Числитель — разность кубов, знаменатель — квадрат разности:

\[8a^3 - 27 = (2a)^3 - 3^3 = (2a - 3)(4a^2 + 6a + 9),\]

\[9 - 12a + 4a^2 = (2a - 3)^2.\]

\dfrac{(2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)}{(2a - 3)^2} = \dfrac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3}, \quad a \ne 1{,}5.

Ответ

(4a² + 6a + 9)/(2a − 3)

Почему так

Раскладываем числитель по формуле разности кубов, знаменатель — как квадрат разности, и сокращаем на 2a − 3.

Условие (кратко)

б) Сократить дробь (ax − 2x − 4a + 8)/(3a − 6 − ax + 2x).

Решение

Группируем слагаемые:

\[ax - 2x - 4a + 8 = x(a - 2) - 4(a - 2) = (a - 2)(x - 4),\]

\[3a - 6 - ax + 2x = 3(a - 2) - x(a - 2) = (a - 2)(3 - x).\]

\dfrac{(a - 2)(x - 4)}{(a - 2)(3 - x)} = \dfrac{x - 4}{3 - x}, \quad a \ne 2, \ x \ne 3.

Ответ

(x − 4)/(3 − x)

Почему так

Способом группировки выносим общий множитель a − 2 в числителе и знаменателе и сокращаем на него.