Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 22

Упражнение 576 к § 22

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x(x − 3)/6 − x/2 = 0.

Решение

Умножим обе части на 6:

x(x - 3) - 3x = 0, \qquad x^2 - 6x = 0, \qquad x(x - 6) = 0.

x_1 = 0, \qquad x_2 = 6.

Ответ

0; 6

Почему так

После умножения на общий знаменатель получается неполное квадратное уравнение, которое решается вынесением x за скобки.

Условие (кратко)

б) Решить уравнение x(x + 1)/3 + (8 + x)/4 = 2.

Решение

Умножим обе части на 12:

\[4x(x + 1) + 3(8 + x) = 24,\]

4x^2 + 4x + 24 + 3x - 24 = 0, \qquad 4x^2 + 7x = 0, \qquad x(4x + 7) = 0.

x_1 = 0, \qquad x_2 = -\dfrac{7}{4} = -1\dfrac{3}{4}.

Ответ

−1 3/4; 0

Почему так

Общий знаменатель 12; свободные члены взаимно уничтожаются, и уравнение становится неполным квадратным.

Условие (кратко)

в) Решить уравнение (2/5)x + (9 − x)/4 + (9 − x)/6 = 3 41/60.

Решение

$3\dfrac{41}{60} = \dfrac{221}{60}$ . Умножим обе части на 60:

\[24x + 15(9 - x) + 10(9 - x) = 221,\]

24x + 135 - 15x + 90 - 10x = 221, \qquad -x + 225 = 221, \qquad x = 4.

Уравнение оказалось линейным.

Ответ

Почему так

Умножаем на общий знаменатель 60, приводим подобные — получается линейное уравнение.

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 1 + (x − 3,5)/5 + 1/2 = x/3,5 − 1.

Решение

Умножим обе части на 35 (на 35 делятся 5 и 3,5, а $\dfrac{35}{2} = 17{,}5$ ):

\[35 + 7(x - 3{,}5) + 17{,}5 = 10x - 35,\]

35 + 7x - 24{,}5 + 17{,}5 = 10x - 35, \qquad 7x + 28 = 10x - 35,

3x = 63, \qquad x = 21.

Проверка: левая часть $1 + \dfrac{17{,}5}{5} + 0{,}5 = 5$ , правая $\dfrac{21}{3{,}5} - 1 = 5$ .

Ответ

Почему так

Избавляемся от дробей умножением на 35 и решаем линейное уравнение.