Задача 1
С помощью графиков выяснить, сколько корней может иметь уравнение 1/x = ax + b, и указать условия на a и b для каждого случая. Задача повышенной трудности.
Решение
Корни — абсциссы общих точек гиперболы \(y = \dfrac{1}{x}\) (ветви в I и III четвертях) и прямой \(y = ax + b\).
\(a = 0\). Прямая горизонтальна. При \(b = 0\) это ось \(x\), гипербола её не пересекает — корней нет. При \(b \ne 0\) прямая \(y = b\) пересекает гиперболу ровно в одной точке — один корень \(x = \dfrac{1}{b}\).
\(a \ne 0\). Умножаем на \(x \ne 0\) и получаем \(ax^2 + bx - 1 = 0\) (число \(0\) корнем быть не может: \(0 + 0 - 1 \ne 0\)). \(D = b^2 + 4a\).
- \(b^2 + 4a > 0\) — два корня (прямая пересекает гиперболу в двух точках; например, при \(a > 0\) — всегда).
- \(b^2 + 4a = 0\) (то есть \(a = -\dfrac{b^2}{4}\), \(b \ne 0\)) — один корень: прямая касается ветви гиперболы.
- \(b^2 + 4a < 0\) — корней нет: прямая проходит между ветвями.
Итак, уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня.
Ответ
Число корней равно числу общих точек гиперболы y = 1/x и прямой y = ax + b.
Подробнее — в теме «Функция y = k/x и её график».