Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 26

Упражнение 646 к § 26

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение (x − y)/(√x − √y) − √x.

Решение

При $x \geqslant 0$ , $y \geqslant 0$ , $x \ne y$ и получаем $x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ .

$\dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \sqrt{x} = \sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{x} = \sqrt{y}$ .

Ответ

√y

Почему так

Разность x − y раскладывается как разность квадратов корней, и дробь сокращается.

Условие (кратко)

б) Упростить выражение √x − (x − y)/(√x + √y).

Решение

При $x \geqslant 0$ , $y \geqslant 0$ (и $$x$$ , $$y$$ не равны нулю одновременно): $x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ .

$\sqrt{x} - \dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{y}$ .

Ответ

√y

Почему так

Разность x − y раскладывается как разность квадратов корней, и дробь сокращается.