Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 27

Упражнение 667 к § 27

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что 1/(11 + 2√30) + 1/(11 − 2√30) = 22.

Решение

Приведём к общему знаменателю, пользуясь формулой разности квадратов:

\dfrac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \dfrac{1}{11 - 2\sqrt{30}} = \dfrac{11 - 2\sqrt{30} + 11 + 2\sqrt{30}}{(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30})} = \dfrac{22}{121 - 4 \cdot 30} = \dfrac{22}{1} = 22.

Ответ

Равенство доказано

Почему так

Произведение сопряжённых выражений по формуле разности квадратов избавляет знаменатель от корня.

Условие (кратко)

б) Доказать, что (√5 + 2)/(√5 − 2) + (√5 − 2)/(√5 + 2) = 18.

Решение

Общий знаменатель $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = 5 - 4 = 1$ . Поэтому

\dfrac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} = \dfrac{(\sqrt{5} + 2)^2 + (\sqrt{5} - 2)^2}{1} = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18.

Ответ

Равенство доказано

Почему так

Знаменатели — сопряжённые выражения, их произведение равно 1, а при сложении квадратов слагаемые с корнем взаимно уничтожаются.