Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 27

Упражнение 668 к § 27

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти значение xy/(x + y) при x = 5 + 2√6, y = 5 − 2√6.

Решение

$xy = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 25 - 4 \cdot 6 = 1$ , $\; x + y = 10$ .

\dfrac{xy}{x + y} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1.

Ответ

0,1

Почему так

Произведение сопряжённых выражений находим по формуле разности квадратов, в сумме корни взаимно уничтожаются.

Условие (кратко)

б) Найти значение (x² + y²)/(xy) при x = √11 + √3, y = √11 − √3.

Решение

$xy = (\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} - \sqrt{3}) = 11 - 3 = 8$ , $\; x + y = 2\sqrt{11}$ .

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 4 \cdot 11 - 16 = 28$ .

\dfrac{x^2 + y^2}{xy} = \dfrac{28}{8} = 3{,}5.

Ответ

3,5

Почему так

Сумму квадратов удобно выразить через сумму и произведение: x² + y² = (x + y)² − 2xy.