Задача 1
Условие (кратко)
а) Составить квадратное уравнение с корнями (√3 − 1)/2 и (√3 + 1)/2.
Решение
Сумма корней \(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} = \sqrt{3}\), произведение \(\dfrac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{4} = \dfrac{3 - 1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
По теореме, обратной теореме Виета, уравнение \(x^2 - \sqrt{3}\,x + \dfrac{1}{2} = 0\). Умножив на 2, получим уравнение с целыми коэффициентами при \(x^2\) и свободном члене: \(2x^2 - 2\sqrt{3}\,x + 1 = 0\).
Ответ
x² − √3·x + 1/2 = 0 (или 2x² − 2√3·x + 1 = 0)
Почему так
Если сумма чисел равна −p, а произведение q, то эти числа — корни уравнения x² + px + q = 0.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».