Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 28

Упражнение 686 к § 28

§ 28. Уравнение с двумя переменными и его график · тема: Уравнение с двумя переменными и его график

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение (x² − 1)/(6x²) : (x² + x)/3.

Решение

$\dfrac{x^2 - 1}{6x^2} : \dfrac{x^2 + x}{3} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{6x^2} \cdot \dfrac{3}{x(x + 1)} = \dfrac{3(x - 1)(x + 1)}{6x^3(x + 1)} = \dfrac{x - 1}{2x^3}$ (при $x \ne 0$ , $x \ne -1$ ).

В ответах учебника указано $\dfrac{x - 1}{4x^3}$ — это опечатка: например, при $$x = 2$$ исходное выражение равно $\dfrac{3}{24} : 2 = \dfrac{1}{16}$ , а $\dfrac{2 - 1}{2 \cdot 8} = \dfrac{1}{16}$ .

Ответ

(x − 1)/(2x³)

Почему так

Чтобы разделить дробь на дробь, умножают первую на дробь, обратную второй, и сокращают общие множители.

Подробнее — в теме «Деление дробей».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить выражение (16n² − 1)/(n² − 2n) : 8n/(3n − 6).

Решение

$\dfrac{16n^2 - 1}{n^2 - 2n} : \dfrac{8n}{3n - 6} = \dfrac{16n^2 - 1}{n(n - 2)} \cdot \dfrac{3(n - 2)}{8n} = \dfrac{3(16n^2 - 1)}{8n^2} = \dfrac{48n^2 - 3}{8n^2}$ (при $n \ne 0$ , $n \ne 2$ ).

В ответах учебника указано $\dfrac{48n^2 - 3}{8n^3}$ — это опечатка: при $$n = 3$$ исходное выражение равно $\dfrac{143}{3} : 8 = \dfrac{143}{24}$ , и $\dfrac{48 \cdot 9 - 3}{8 \cdot 9} = \dfrac{429}{72} = \dfrac{143}{24}$ .

Ответ

(48n² − 3)/(8n²)

Почему так

Деление заменяют умножением на обратную дробь, раскладывают знаменатели на множители и сокращают n − 2 и n.

Подробнее — в теме «Деление дробей».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростить выражение (x − 4)/(y² − xy) : (5x − 20)/(x² − xy).

Решение

$\dfrac{x - 4}{y^2 - xy} : \dfrac{5x - 20}{x^2 - xy} = \dfrac{x - 4}{y(y - x)} \cdot \dfrac{x(x - y)}{5(x - 4)}$ .

Так как $$y - x = -(x - y)$$ , получаем $\dfrac{x(x - y)}{-5y(x - y)} = -\dfrac{x}{5y}$ (при $x \ne 0$ , $y \ne 0$ , $x \ne y$ , $x \ne 4$ ).

Ответ

−x/(5y)

Почему так

Множители y − x и x − y противоположны, поэтому при сокращении появляется знак минус.

Подробнее — в теме «Деление дробей».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки