Задача 1
Условие (кратко)
Представить (5n² + 3n + 6)/n в виде суммы двучлена и дроби. При каких натуральных n дробь принимает натуральные значения?
Решение
\(\dfrac{5n^2 + 3n + 6}{n} = \dfrac{5n^2}{n} + \dfrac{3n}{n} + \dfrac{6}{n} = 5n + 3 + \dfrac{6}{n}\).
При натуральном \(n\) двучлен \(5n + 3\) — натуральное число. Значит, вся сумма натуральна, когда натурально \(\dfrac{6}{n}\), то есть \(n\) — делитель числа 6: \(n = 1, 2, 3, 6\).
Проверка: при \(n = 1, 2, 3, 6\) значения равны \(14, 16, 20, 34\).
Ответ
5n + 3 + 6/n; n = 1, 2, 3, 6
Почему так
Выделяем целую часть: остаётся дробь 6/n, которая натуральна только при n — делителе 6.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».