Задача 1
Условие (кратко)
При каких целых m дробь ((m − 1)(m + 1) − 10)/m принимает целые значения?
Решение
\(\dfrac{(m - 1)(m + 1) - 10}{m} = \dfrac{m^2 - 1 - 10}{m} = \dfrac{m^2 - 11}{m} = m - \dfrac{11}{m}\) (при \(m \ne 0\)).
При целом \(m\) число \(m\) целое, поэтому выражение целое тогда и только тогда, когда целое \(\dfrac{11}{m}\), то есть \(m\) — делитель 11 (положительный или отрицательный): \(m = -11, -1, 1, 11\).
Проверка: значения дроби \(-10\), \(10\), \(-10\), \(10\).
Ответ
m = −11; −1; 1; 11
Почему так
Выделяем целую часть m − 11/m: целое значение только при m, делящем 11.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».