Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 30

Упражнение 700 к § 30

§ 30. Графический способ решения систем уравнений · тема: Графический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Определить, что является графиком уравнения xy = −3 (парабола, гипербола или прямая), и построить график.

Решение

$$xy = -3$$ , $x \ne 0$ , значит, $y = -\dfrac{3}{x}$ — это гипербола, ветви во II и IV четвертях.

$$x$$	$$-3$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$3$$
$$y$$	$$1$$	$$3$$	$$6$$	$$-6$$	$$-3$$	$$-1$$

Ответ

Гипербола y = −3/x (ветви во II и IV четвертях)

Почему так

Уравнение вида xy = k при k ≠ 0 задаёт гиперболу y = k/x.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Определить, что является графиком уравнения 6y − 2 = 0 (парабола, гипербола или прямая), и построить график.

Решение

$$6y = 2$$ , $y = \dfrac{1}{3}$ при любом $$x$$ .

График — прямая, параллельная оси $$x$$ и проходящая через точку $\left(0;\ \dfrac{1}{3}\right)$ .

Ответ

Прямая y = 1/3, параллельная оси x

Почему так

Уравнение, в котором y равно постоянному числу, задаёт горизонтальную прямую.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Определить, что является графиком уравнения ¼y − x² = −1 (парабола, гипербола или прямая), и построить график.

Решение

$\dfrac{1}{4}y = x^2 - 1$ , умножим на $$4$$ : $$y = 4x^2 - 4$$ — парабола, ветви вверх, вершина $(0;\ -4)$ .

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$12$$	$$0$$	$$-4$$	$$0$$	$$12$$

Парабола пересекает ось $$x$$ в точках $(-1;\ 0)$ и $(1;\ 0)$ .

Ответ

Парабола y = 4x² − 4 с вершиной (0; −4)

Почему так

Уравнение приводится к виду y = ax² + c — это парабола.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Определить, что является графиком уравнения 10 + 5xy = 0 (парабола, гипербола или прямая), и построить график.

Решение

$$5xy = -10$$ , $$xy = -2$$ , $y = -\dfrac{2}{x}$ — гипербола, ветви во II и IV четвертях.

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$
$$y$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$

Ответ

Гипербола y = −2/x (ветви во II и IV четвертях)

Почему так

После преобразования уравнение имеет вид y = k/x с k = −2 — это гипербола.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Определить, что является графиком уравнения 1 + 2x = 0 (парабола, гипербола или прямая), и построить график.

Решение

$$2x = -1$$ , $$x = -0{,}5$$ при любом $$y$$ .

График — прямая, параллельная оси $$y$$ и проходящая через точку $(-0{,}5;\ 0)$ .

Ответ

Прямая x = −0,5, параллельная оси y

Почему так

Уравнение, в котором x равно постоянному числу, задаёт вертикальную прямую.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Определить, что является графиком уравнения 2x − 2y = 5 (парабола, гипербола или прямая), и построить график.

Решение

$$2y = 2x - 5$$ , $$y = x - 2{,}5$$ — линейное уравнение, график — прямая.

$$x$$	$$0$$	$$2{,}5$$
$$y$$	$$-2{,}5$$	$$0$$

Прямая проходит через точки $(0;\ -2{,}5)$ и $(2{,}5;\ 0)$ .

Ответ

Прямая y = x − 2,5

Почему так

Уравнение первой степени ax + by = c задаёт прямую.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки