Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 716 к § 31

§ 31. Алгебраический способ решения систем уравнений · тема: Алгебраический способ решения систем уравнений

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Упражнения для повторения.) Построив схематически графики, выяснить, сколько решений имеет система: y = x³, y = 15x.

Решение

$$y = x^3$$ — кубическая парабола: проходит через начало координат, лежит в I и III четвертях, вблизи нуля пологая, дальше растёт очень круто. $$y = 15x$$ — крутая прямая через начало координат.

$$x$$	$$-4$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$4$$
$$x^3$$	$$-64$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$64$$
$$15x$$	$$-60$$	$$-15$$	$$0$$	$$15$$	$$60$$

Графики пересекаются в начале координат. При $$x = 1$$ прямая выше кривой, при $$x = 4$$ — ниже, значит, между 1 и 4 есть ещё точка пересечения, и симметричная ей при $$x < 0$$ . Всего три общие точки. (Проверка: $$x^3 = 15x$$ при $$x = 0$$ и $x = \pm\sqrt{15}$ .)

В ответах учебника для а) указано «два», для б) — «три»: ответы переставлены местами.

Ответ

Три решения

Почему так

Число решений системы равно числу общих точек графиков её уравнений.

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Упражнения для повторения.) Построив схематически графики, выяснить, сколько решений имеет система: xy = 10, y = x.

Решение

$$xy = 10$$ , то есть $y = \dfrac{10}{x}$ , — гипербола, ветви в I и III четвертях. $$y = x$$ — биссектриса этих же четвертей.

Прямая проходит через начало координат и пересекает каждую ветвь гиперболы по одному разу — две общие точки. (Проверка: $$x^2 = 10$$ , $x = \pm\sqrt{10}$ .)

В ответах учебника ответы к а) и б) переставлены.