Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 34

Упражнение 859 к § 34

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 5/x = 2 − 3/(x − 2).

Решение

Допустимые значения: $x \ne 0$ , $x \ne 2$ . Умножим обе части на $$x(x - 2)$$ :

$$5(x - 2) = 2x(x - 2) - 3x$$ ,

$$5x - 10 = 2x^2 - 4x - 3x$$ ,

$$2x^2 - 12x + 10 = 0$$ , т. е. $$x^2 - 6x + 5 = 0$$ .

По теореме, обратной теореме Виета, $$x_1 = 1$$ , $$x_2 = 5$$ . Оба корня допустимы.

Ответ

x₁ = 1, x₂ = 5

Почему так

Дробное уравнение сводят к целому умножением на общий знаменатель и проверяют, не обращают ли корни знаменатели в нуль.

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 3/(2x − 1) = 5x − 9.

Решение

Допустимые значения: $x \ne 0{,}5$ . Умножим обе части на $$2x - 1$$ и получим

$$3 = (5x - 9)(2x - 1) = 10x^2 - 23x + 9$$ ,

$$10x^2 - 23x + 6 = 0$$ .

$D = 23^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 529 - 240 = 289$ , $\sqrt{D} = 17$ .

$x_1 = \dfrac{23 - 17}{20} = 0{,}3$ , $x_2 = \dfrac{23 + 17}{20} = 2$ . Оба корня не равны $$0{,}5$$ , т. е. допустимы.

Ответ

x₁ = 0,3, x₂ = 2

Почему так

После умножения на знаменатель получается квадратное уравнение; его корни проверяют на допустимость.