Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 36

Упражнение 892 к § 36

§ 36. Сложение и умножение числовых неравенств · тема: Сложение и умножение числовых неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) Работа в парах. Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, доказать, что (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

Решение

Для неотрицательных чисел $$x$$ и $$y$$ верно $\dfrac{x + y}{2} \geqslant \sqrt{xy}$ , то есть $x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$ .

Применим это три раза:

a + b \geqslant 2\sqrt{ab}, \quad b + c \geqslant 2\sqrt{bc}, \quad a + c \geqslant 2\sqrt{ac}.

Все части этих неравенств неотрицательны, поэтому их можно перемножить почленно:

(a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc.

Последнее равенство верно, потому что $abc \geqslant 0$ .

Ответ

Неравенство доказано

Почему так

Каждую скобку оцениваем снизу по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим, затем перемножаем неравенства.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Работа в парах. Доказать, что (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)/16 ≥ abc при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

Решение

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел:

a + 1 \geqslant 2\sqrt{a}, \quad b + 1 \geqslant 2\sqrt{b}, \quad a + c \geqslant 2\sqrt{ac}, \quad b + c \geqslant 2\sqrt{bc}.

Перемножим почленно (все части неотрицательны):

(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \geqslant 16\sqrt{a \cdot b \cdot ac \cdot bc} = 16\sqrt{a^2b^2c^2} = 16abc.

Разделив обе части на 16, получим $\dfrac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geqslant abc$ .