Задача 1
Условие (кратко)
Упростить выражение (8x/(16 − 9x²) + x/(3x − 4)) : (1 − (4 − 3x)/(4 + 3x)).
Решение
Разложим \(16 - 9x^2 = (4 - 3x)(4 + 3x)\) и запишем \(\dfrac{x}{3x - 4} = -\dfrac{x}{4 - 3x}\).
-
Выражение в первых скобках:
\[\dfrac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \dfrac{x}{4 - 3x} = \dfrac{8x - x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \dfrac{4x - 3x^2}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \dfrac{x(4 - 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \dfrac{x}{4 + 3x}.\] -
Выражение во вторых скобках:
\[1 - \dfrac{4 - 3x}{4 + 3x} = \dfrac{4 + 3x - 4 + 3x}{4 + 3x} = \dfrac{6x}{4 + 3x}.\] -
Деление:
\[\dfrac{x}{4 + 3x} : \dfrac{6x}{4 + 3x} = \dfrac{x}{4 + 3x} \cdot \dfrac{4 + 3x}{6x} = \dfrac{1}{6}.\]
Выражение имеет смысл при \(x \ne 0\), \(x \ne \pm\dfrac{4}{3}\), и при всех таких \(x\) его значение равно \(\dfrac{1}{6}\).
Ответ
1/6
Почему так
После разложения 16 − 9x² на множители и приведения к общему знаменателю всё сокращается и остаётся число.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».