Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что 9a + 1/a ≥ 6 при a > 0.
Решение
Рассмотрим разность левой и правой частей:
\[9a + \dfrac{1}{a} - 6 = \dfrac{9a^2 - 6a + 1}{a} = \dfrac{(3a - 1)^2}{a}.\]
Числитель \((3a - 1)^2 \geqslant 0\), знаменатель \(a > 0\), поэтому дробь неотрицательна. Значит, \(9a + \dfrac{1}{a} \geqslant 6\). Равенство достигается при \(a = \dfrac{1}{3}\).
Ответ
Неравенство доказано
Почему так
Разность частей неравенства приводится к дроби с квадратом в числителе и положительным знаменателем.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».