Задача 1
Условие (кратко)
Упражнение для повторения. Решить уравнение 1 − 1/(2 − x) = (6 − x)/(3x² − 12) − 1/(x − 2).
Решение
\[1 - \dfrac{1}{2 - x} = \dfrac{6 - x}{3x^2 - 12} - \dfrac{1}{x - 2}.\]
Так как \(-\dfrac{1}{2 - x} = \dfrac{1}{x - 2}\), а \(3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)\), перенесём \(-\dfrac{1}{x - 2}\) влево:
\[1 + \dfrac{2}{x - 2} = \dfrac{6 - x}{3(x - 2)(x + 2)}, \qquad x \ne \pm 2.\]
Умножим обе части на \(3(x - 2)(x + 2)\):
\[3(x^2 - 4) + 6(x + 2) = 6 - x,\]
\[3x^2 - 12 + 6x + 12 - 6 + x = 0, \qquad 3x^2 + 7x - 6 = 0.\]
\(D = 49 + 72 = 121\), \(x = \dfrac{-7 \pm 11}{6}\), откуда \(x_1 = -3\), \(x_2 = \dfrac{2}{3}\).
Оба корня не равны \(\pm 2\), знаменатели не обращаются в нуль.
Ответ
−3; 2/3
Почему так
Дробное уравнение сводится к целому умножением на общий знаменатель с последующей проверкой, что знаменатели не равны нулю.
Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».