Пересечение и объединение множеств

Коротко о главном

Пересечение множеств $$A$$ и $$B$$ — множество их общих элементов, объединение — множество всех элементов, которые входят хотя бы в одно из них. Наглядно их показывают кругами Эйлера.

A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}, \qquad A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}

Подробное объяснение

Два кружка в одном классе

В классе есть шахматный кружок и футбольная секция. Классный руководитель составляет два списка: кто ходит на шахматы и кто на футбол. Если нужно позвать на соревнование ребят, которые занимаются и тем и другим, он ищет фамилии, которые есть в обоих списках. А если нужно раздать спортивную форму всем, кто хоть куда-то ходит, он сливает списки в один, но каждую фамилию пишет один раз. Первый список — это пересечение, второй — объединение.

Множество и его элементы

Множество — это набор каких-то объектов, рассматриваемых как одно целое: учеников класса, букв слова, решений уравнения. Объекты называют элементами множества. Запись $5 \in A$ читается «5 принадлежит $$A$$ », запись $7 \notin A$ — «7 не принадлежит $$A$$ ».

Множество задают двумя способами:

перечислением элементов в фигурных скобках: $A = \{2, 4, 6\}$ ; порядок неважен, повторять элемент не нужно;
характеристическим свойством: « $$B$$ — множество натуральных чисел, кратных 5». Так задают и бесконечные множества.

Если каждый элемент множества $$X$$ является элементом $$Y$$ , то $$X$$ называют подмножеством $$Y$$ и пишут $X \subset Y$ . Например, натуральные числа — подмножество целых: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ , а целые — подмножество рациональных: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ .

Множество, в котором нет ни одного элемента, называют пустым и обозначают $\varnothing$ . Например, множество корней уравнения $$x^2 = -1$$ пустое.

Пересечение и объединение

Пересечение $A \cap B$ — множество всех элементов, которые принадлежат и $$A$$ , и $$B$$ . Если общих элементов нет, пересечение пустое: $A \cap B = \varnothing$ .

Объединение $A \cup B$ — множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств: только $$A$$ , только $$B$$ или обоим сразу.

Пусть $$A$$ — чётные числа от 1 до 12, $$B$$ — числа от 1 до 12, кратные 3:

A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}, \qquad B = \{3, 6, 9, 12\}.

Тогда $A \cap B = \{6, 12\}$ , а $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}$ .

Круги Эйлера

Множества удобно рисовать кругами: всё, что внутри круга, — элементы множества. Общая часть двух кругов изображает пересечение, а вся фигура из двух кругов — объединение.

Два пересекающихся круга. В круге A — чётные числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, в круге B — числа 3, 6, 9, 12. Общая закрашенная часть содержит 6 и 12 — это A ∩ B. — Пересечение — закрашенная общая часть кругов: числа, которые входят и в A, и в B. Всё, что лежит хотя бы в одном круге, — объединение A ∪ B.

Возможны три случая:

круги частично перекрываются — у множеств есть общие элементы, но не все;
круги не касаются — множества не пересекаются, $A \cap B = \varnothing$ ;
один круг лежит внутри другого — $B \subset A$ , тогда $A \cap B = B$ и $A \cup B = A$ .

Полезный счёт для конечных множеств: в объединении столько элементов, сколько в $$A$$ и в $$B$$ вместе, минус число общих элементов — иначе общие посчитаются дважды.

Как решать

Запишите оба множества перечислением элементов или чётко сформулируйте их свойства.
Проверьте, не является ли одно множество подмножеством другого и нет ли у них вовсе общих элементов.
Для пересечения выберите элементы, которые есть в обоих множествах (для «кратных» — кратные НОК).
Для объединения выпишите все элементы первого множества и добавьте элементы второго, которых в первом нет.
При необходимости нарисуйте круги Эйлера и проверьте ответ по рисунку.

Разобранные примеры

База

Общие делители

Условие

$$A$$ — множество натуральных делителей числа 16, $$B$$ — множество натуральных делителей числа 20. Найдите $A \cap B$ и $A \cup B$ .

Решение

Перечислим элементы:

A = \{1, 2, 4, 8, 16\}, \qquad B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}.

Общие делители: $A \cap B = \{1, 2, 4\}$ .

К элементам $$A$$ добавим элементы $$B$$ , которых в $$A$$ нет, — это $$5$$ , $$10$$ , $$20$$ :

A \cup B = \{1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20\}.

Ответ: A ∩ B = {1, 2, 4}; A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20}

Средний

Бесконечные множества

Условие

$$X$$ — множество натуральных чисел, кратных 4, $$Y$$ — множество натуральных чисел, кратных 6. Опишите $X \cap Y$ и нарисуйте круги Эйлера.

Решение

Выпишем начало каждого множества: $X = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \ldots\}$ , $Y = \{6, 12, 18, 24, \ldots\}$ . Общие элементы: $12, 24, 36, \ldots$ — это числа, кратные $\text{НОК}(4, 6) = 12$ .

Ни одно множество не содержится в другом: $4 \in X$ , но $4 \notin Y$ ; $6 \in Y$ , но $6 \notin X$ . Поэтому круги частично перекрываются, а в общей части лежат числа, кратные 12.

Ответ: X ∩ Y — натуральные числа, кратные 12; круги Эйлера пересекаются частично

Сложный

Сколько в обоих кружках

Условие

В классе 25 учеников. В шахматный кружок ходят 15 человек, в футбольную секцию — 12, а 4 ученика не ходят никуда. Сколько учеников занимаются и шахматами, и футболом?

Дано

всего 25 учеников
шахматы — 15
футбол — 12
никуда — 4

Найти

число учеников в пересечении

Решение

Хотя бы в один кружок ходят $$25 - 4 = 21$$ человек — это объединение. Сумма $$15 + 12 = 27$$ больше на тех, кого посчитали дважды:

\[27 - 21 = 6.\]

Проверка: только шахматы $$15 - 6 = 9$$ , только футбол $$12 - 6 = 6$$ , оба — $$6$$ , никуда — $$4$$ , всего $$9 + 6 + 6 + 4 = 25$$ .

Ответ: 6 учеников

Типичные ошибки

Путают знаки ∩ и ∪

Почему неверно

Знаки похожи, и ученик записывает в $A \cap B$ все элементы обоих множеств, а в $A \cup B$ — только общие. Получается ответ «наоборот».

Как правильно

Пересечение $\cap$ — «шапка», как общая крыша над тем, что есть и там и там: только общие элементы. Объединение $\cup$ — «чашка», в которую ссыпают всё: элементы обоих множеств. Пересечение никогда не больше каждого из множеств, объединение — не меньше.

Для кратных перемножают числа

Почему неверно

Пересечение множеств чисел, кратных 4, и чисел, кратных 6, записывают как «числа, кратные 24». Но число 12 делится и на 4, и на 6, а на 24 — нет: его потеряли.

Как правильно

Общие кратные двух чисел — это кратные их наименьшего общего кратного: $\text{НОК}(4, 6) = 12$ . Произведение подходит, только если числа взаимно простые (например, 3 и 5: $\text{НОК} = 15$ ).

Пустое множество записывают как {0}

Почему неверно

$\{0\}$ — множество, в котором есть один элемент — число ноль. Оно не пустое.

Как правильно

Если общих элементов нет, пишут $A \cap B = \varnothing$ , без фигурных скобок и без нуля.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Даны множества $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ и $B = \{3, 6, 9, 12\}$ . Найдите $A \cap B$ и $A \cup B$ .

Подсказка

В пересечение берите числа, которые есть в обоих списках; в объединение — все числа, но каждое по одному разу.

Решение

Общие элементы — $$3$$ и $$9$$ , поэтому $A \cap B = \{3, 9\}$ .

В объединение выписываем все элементы $$A$$ , затем элементы $$B$$ , которых в $$A$$ нет ( $$6$$ и $$12$$ ):

A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 7, 9, 12\}.

Ответ

A ∩ B = {3, 9}; A ∪ B = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 12}

База Задача 2

Пусть $$P$$ — множество букв слова «ракета», $$Q$$ — множество букв слова «карета». Найдите $P \cap Q$ и $P \cup Q$ .

Подсказка

Повторяющиеся буквы в множество записывают один раз.

Решение

$P = \{\text{р, а, к, е, т}\}$ , $Q = \{\text{к, а, р, е, т}\}$ — это одни и те же буквы. Значит, множества равны, и

P \cap Q = P \cup Q = \{\text{а, е, к, р, т}\}.

Ответ

P ∩ Q = P ∪ Q = {а, е, к, р, т}

Средний Задача 3

Сколько элементов в пересечении множества двузначных чисел, кратных 4, и множества двузначных чисел, кратных 6?

Подсказка

Число кратно и 4, и 6 тогда, когда оно кратно их наименьшему общему кратному.

Решение

Число делится и на $$4$$ , и на $$6$$ ровно тогда, когда оно делится на $\text{НОК}(4, 6) = 12$ . Значит, пересечение — двузначные числа, кратные $$12$$ :

\[12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.\]

Их $$8$$ .

Ответ

8

Средний Задача 4

$$X$$ — множество натуральных чисел, оканчивающихся нулём, $$Y$$ — множество чётных натуральных чисел. Найдите $X \cap Y$ и $X \cup Y$ .

Подсказка

Проверьте, не является ли одно множество частью другого.

Решение

Число, оканчивающееся нулём, делится на $$10$$ , а значит, и на $$2$$ . Поэтому каждый элемент $$X$$ принадлежит $$Y$$ : $X \subset Y$ .

Если одно множество — подмножество другого, то пересечение равно меньшему, а объединение — большему:

X \cap Y = X, \qquad X \cup Y = Y.

На кругах Эйлера круг $$X$$ целиком лежит внутри круга $$Y$$ .

Ответ

X ∩ Y = X (числа, оканчивающиеся нулём); X ∪ Y = Y (чётные числа)

Сложный Задача 5

В группе 30 туристов. Английский язык знают 18 человек, немецкий — 14, а 5 туристов не знают ни одного из этих языков. Сколько туристов знают оба языка?

Подсказка

Сначала найдите, сколько человек в объединении «знают английский» и «знают немецкий».

Решение

Хотя бы один язык знают $$30 - 5 = 25$$ человек — это объединение двух множеств.

Если сложить $$18 + 14 = 32$$ , то знающие оба языка посчитаны дважды. Лишние $$32 - 25 = 7$$ человек — это и есть пересечение.

Проверка: только английский — $$18 - 7 = 11$$ , только немецкий — $$14 - 7 = 7$$ , оба — $$7$$ , ни одного — $$5$$ ; всего $$11 + 7 + 7 + 5 = 30$$ .

Ответ

7 туристов

Сложный Задача 6

В множестве $$A$$ 10 элементов, в множестве $$B$$ — 7. Каким может быть наименьшее и наибольшее число элементов в $A \cup B$ ?

Подсказка

Объединение меньше всего, когда множества сильнее всего «перекрываются», и больше всего, когда у них нет общих элементов.

Решение

Число элементов объединения равно $$10 + 7$$ минус число общих элементов. Общих элементов не больше $$7$$ (в $$B$$ всего $$7$$ ) и не меньше $$0$$ .

Наименьшее: все элементы $$B$$ лежат в $$A$$ , $B \subset A$ , тогда в объединении $$10 + 7 - 7 = 10$$ элементов.

Наибольшее: множества не пересекаются, $A \cap B = \varnothing$ , тогда $$10 + 7 - 0 = 17$$ элементов.

Ответ

Наименьшее 10, наибольшее 17

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол два обруча или два круга из верёвки так, чтобы они частично перекрывались. В один обруч кладите красные предметы, в другой — круглые. Красный мяч попадёт в общую часть — это пересечение «красное и круглое». Всё, что лежит хоть в одном обруче, — объединение. Потом сдвиньте обручи так, чтобы они не касались (пересечение пустое), и вложите один в другой (одно множество — часть другого).

Вопросы для проверки понимания:

Чем отличается множество $\{0\}$ от пустого множества?
Если $A \subset B$ , чему равны $A \cap B$ и $A \cup B$ ?
Какие числа входят в пересечение множеств чисел, кратных 2, и чисел, кратных 3?

На что обратить внимание. В объединении каждый элемент пишется один раз. Для бесконечных множеств ответ дают словами («числа, кратные 12»), а не перечислением. Эта тема нужна дальше: пересечение и объединение числовых промежутков — основа решения систем и совокупностей неравенств.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 37	898, 899, 900, 901, 902, 903, 904, 905, 906, 907, 908, 909, 910