Задача 1
Условие (кратко)
Доказать неравенство a² + 5 > 2a.
Решение
Рассмотрим разность левой и правой частей и выделим полный квадрат:
\[a^2 + 5 - 2a = (a^2 - 2a + 1) + 4 = (a - 1)^2 + 4.\]
\((a - 1)^2 \geqslant 0\) при любом \(a\), поэтому \((a - 1)^2 + 4 \geqslant 4 > 0\).
Разность положительна, значит, \(a^2 + 5 > 2a\) при любом \(a\).
Ответ
Неравенство доказано
Почему так
Чтобы доказать a > b, достаточно показать, что разность a − b положительна.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».