Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Числовой промежуток — множество всех чисел между двумя границами (или от границы до бесконечности). Квадратная скобка и закрашенная точка означают, что граница входит, круглая скобка и пустая точка — что не входит.
Подробное объяснение
Представьте объявление на аттракционе: «Рост от 120 до 190 см». Пустят ли ребёнка ростом ровно 120 см? Обычно да — граница входит. А если написано «ростом больше 120 см»? Тогда ровно 120 уже не подходит. В математике такие «диапазоны» называют числовыми промежутками, и для них есть короткая и точная запись.
Пять видов промежутков
Каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой, поэтому промежуток удобно рисовать как кусок прямой.
![Пять координатных прямых: отрезок [a; b], интервал (a; b), полуинтервал [a; b), луч (−∞; a] и открытый луч (a; +∞). Входящий конец — закрашенный кружок, не входящий — пустой, промежуток заштрихован.](/media/figures/chislovye-promezhutki-1.svg)
- Числовой отрезок \([a;\ b]\) — числа, для которых \(a \leqslant x \leqslant b\). Оба конца входят.
- Интервал \((a;\ b)\) — числа, для которых \(a < x < b\). Концы не входят.
- Полуинтервал \([a;\ b)\) или \((a;\ b]\) — входит ровно один конец.
- Числовой луч \([a;\ +\infty)\) или \((-\infty;\ a]\) — задаётся неравенством \(x \geqslant a\) или \(x \leqslant a\), граница входит.
- Открытый числовой луч \((a;\ +\infty)\) или \((-\infty;\ a)\) — неравенство \(x > a\) или \(x < a\), граница не входит.
Значки \(+\infty\) и \(-\infty\) читаются «плюс бесконечность» и «минус бесконечность». Это не числа, а знак того, что промежуток тянется без конца. Поэтому рядом с ними скобка всегда круглая. Вся координатная прямая — это промежуток \((-\infty;\ +\infty)\), его называют числовой прямой.
Скобки и точки
Правило одно на всё:
- нестрогий знак (\(\leqslant\), \(\geqslant\)) → квадратная скобка → закрашенная точка;
- строгий знак (\(<\), \(>\)) → круглая скобка → пустая точка («выколотая»).
Запись \(x \in (2;\ 5]\) читается «\(x\) принадлежит полуинтервалу от 2 до 5, включая 5».
Пересечение и объединение
Промежутки — это множества, поэтому для них работают пересечение \(\cap\) (общие числа) и объединение \(\cup\) (все числа, которые есть хотя бы в одном). Удобнее всего их находить на рисунке: один промежуток штрихуют сверху от прямой, другой — снизу. Где штриховка двойная — пересечение. Где есть хоть какая-нибудь — объединение.
Например, \([0;\ 4] \cap [2;\ 7] = [2;\ 4]\), а \([0;\ 4] \cup [2;\ 7] = [0;\ 7]\). Если общих чисел нет, пересечение — пустое множество \(\varnothing\). А объединение далеко отстоящих промежутков, например \([0;\ 1] \cup [5;\ 6]\), вообще не является промежутком: в нём есть «дыра».
Как решать задачи
- Переведите условие на язык неравенств или, наоборот, неравенство — в скобки: нестрогий знак — квадратная скобка, строгий — круглая, у бесконечности — круглая.
- Начертите прямую и отметьте границы в порядке возрастания; входящие — закрашенными точками, невходящие — пустыми.
- Заштрихуйте каждый промежуток (если их два — сверху и снизу).
- Для пересечения возьмите участок с двойной штриховкой, для объединения — всё заштрихованное.
- Для каждого конца ответа отдельно решите, входит ли он: в пересечении конец входит, только если входит в оба промежутка; в объединении — если входит хотя бы в один.
- Если спрашивают о целых числах, перечислите их, проверив, входят ли концы.
Разобранные примеры
Неравенство — в промежуток
Запишите промежутком и назовите: а) \(x < 7\); б) \(-2 \leqslant x \leqslant 0{,}5\).
а) Числа меньше 7 тянутся влево без конца, 7 не входит: \((-\infty;\ 7)\) — открытый числовой луч.
б) Оба знака нестрогие, оба конца входят: \([-2;\ 0{,}5]\) — числовой отрезок.
Целые числа промежутка
Какие целые числа принадлежат промежутку \((-2{,}5;\ 3]\)? Какое из них наибольшее?
Левая граница \(-2{,}5\) не целая; ближайшее целое справа от неё — \(-2\). Правая граница \(3\) входит (квадратная скобка).
Целые числа: \(-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\). Наибольшее — \(3\).
Пересечение и объединение лучей
Найдите пересечение и объединение промежутков \((-\infty;\ 4]\) и \((-1;\ +\infty)\).
Отмечаем на прямой \(-1\) (пустая точка) и \(4\) (закрашенная). Первый промежуток штрихуем влево от 4, второй — вправо от \(-1\).
Двойная штриховка — между \(-1\) и \(4\). Число \(-1\) не входит во второй промежуток, значит, и в пересечение; число \(4\) входит в оба. Пересечение — \((-1;\ 4]\).
Вместе лучи покрывают всю прямую: любое число либо не больше 4, либо больше \(-1\). Объединение — \((-\infty;\ +\infty)\).
Типичные ошибки
Запись \([3;\ +\infty]\) означает, что «\(+\infty\)» входит в промежуток, как число. Но бесконечность — не число, её нельзя «включить».
У \(+\infty\) и \(-\infty\) скобка всегда круглая: \([3;\ +\infty)\), \((-\infty;\ 0]\).
Неравенство \(x \leqslant 6\) иногда записывают как \((-\infty;\ 6)\) — и теряют само число 6, хотя оно неравенству удовлетворяет: \(6 \leqslant 6\) верно.
Нестрогий знак — квадратная скобка: \(x \leqslant 6 \Leftrightarrow x \in (-\infty;\ 6]\). Проверяйте границу подстановкой: подходит — скобка квадратная.
В задаче \([1;\ 5) \cap (2;\ 8]\) пишут \([2;\ 5]\) — будто концы входят. Но число 2 не входит во второй промежуток, а 5 — в первый.
Конец пересечения входит, только если он входит в оба промежутка: \([1;\ 5) \cap (2;\ 8] = (2;\ 5)\). Для объединения достаточно одного: \([1;\ 5) \cup (2;\ 8] = [1;\ 8]\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой промежуток задаёт неравенство \(x \geqslant 4\)?
Показать ответ
Ответ: А) [4; +∞)
Неравенство нестрогое — у числа 4 квадратная скобка; у бесконечности скобка всегда круглая.
-
Как называется промежуток \((-2;\ 7)\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Интервал
Оба конца не входят и обе скобки круглые — это интервал.
-
Какие числа принадлежат промежутку \([-1;\ 3)\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) −1; Б) 0,5; Г) 2,99
Число \(-1\) входит (квадратная скобка), \(3\) не входит (круглая скобка), \(-1{,}5 < -1\) лежит левее промежутка.
-
Сколько целых чисел принадлежит интервалу \((-4;\ 2)\)?
Показать ответ
Ответ: 5
Это числа \(-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1\); концы \(-4\) и \(2\) не входят.
-
Чему равно пересечение промежутков \((-\infty;\ 5)\) и \([1;\ +\infty)\)?
Показать ответ
Ответ: Б) [1; 5)
Общие числа — от 1 до 5; число 1 входит во второй промежуток, а 5 не входит в первый.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Запишите множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству \(-3 < x \leqslant 5\), в виде промежутка и назовите его.
Подсказка
Строгое неравенство — круглая скобка, нестрогое — квадратная.
Решение
Левый конец \(-3\) не входит (знак \(<\)), поэтому скобка круглая. Правый конец \(5\) входит (знак \(\leqslant\)), скобка квадратная.
Один конец входит, другой нет — это полуинтервал.
Ответ
Сколько целых чисел принадлежит промежутку \([-2;\ 4)\)?
Подсказка
Число \(-2\) входит, число \(4\) — нет.
Решение
Целые числа от \(-2\) до \(4\), не включая \(4\): \(-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\). Их шесть.
Ответ
Найдите пересечение и объединение промежутков \([-1;\ 6)\) и \((2;\ 9]\).
Подсказка
Изобразите оба промежутка на одной прямой, один штриховкой сверху, другой — снизу.
Решение
На прямой отмечаем \(-1\) (закрашенная точка), \(6\) (пустая), \(2\) (пустая), \(9\) (закрашенная).
Общая часть — от \(2\) до \(6\), оба конца не входят: \([-1;\ 6) \cap (2;\ 9] = (2;\ 6)\).
Вместе промежутки закрывают всё от \(-1\) до \(9\); число \(-1\) входит в первый, \(9\) — во второй: \([-1;\ 6) \cup (2;\ 9] = [-1;\ 9]\).
Ответ
Найдите сумму всех целых чисел, принадлежащих промежутку \((-3;\ 4]\).
Решение
Число \(-3\) не входит, \(4\) входит. Целые числа промежутка: \(-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\).
Противоположные числа взаимно уничтожаются: \((-2) + 2 = 0\), \((-1) + 1 = 0\). Остаётся \(0 + 3 + 4 = 7\).
Ответ
Найдите пересечение и объединение промежутков \((-\infty;\ 3]\) и \((3;\ +\infty)\).
Подсказка
Подумайте, кому принадлежит само число 3.
Решение
Первый промежуток — все числа, не большие \(3\), причём \(3\) входит. Второй — все числа, большие \(3\).
Общих чисел нет: число \(3\) есть только в первом, а все остальные числа лежат лишь в одном из промежутков. Пересечение — пустое множество: \((-\infty;\ 3] \cap (3;\ +\infty) = \varnothing\).
Любое число либо не больше \(3\), либо больше \(3\), поэтому объединение — вся числовая прямая: \((-\infty;\ +\infty)\).
Ответ
При каком значении \(a\) пересечение отрезков \([a;\ 5]\) и \([2;\ 8]\) — отрезок длины 2?
Подсказка
Правый конец пересечения — число 5. Где должен быть левый?
Решение
Правый конец пересечения — меньший из правых концов, то есть \(5\). Длина 2 означает, что левый конец пересечения равен \(5 - 2 = 3\).
Левый конец пересечения — больший из чисел \(a\) и \(2\). Он должен равняться \(3\), значит, \(a = 3\) (при \(a \leqslant 2\) пересечение было бы \([2;\ 5]\) длины 3).
Проверка: \([3;\ 5] \cap [2;\ 8] = [3;\ 5]\), длина \(5 - 3 = 2\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите линейку и два карандаша-«ограничителя». Скажите: «Отрезок от 3 до 8 — карандаши стоят на 3 и на 8 и сами входят в отрезок». Потом: «Интервал — карандаши стоят там же, но сами в счёт не идут». Дальше нарисуйте прямую на бумаге: закрашенный кружок — «граница внутри», пустой — «граница снаружи». Для пересечения положите на линейку две полоски бумаги внахлёст — общая часть и есть пересечение.
Вопросы для проверки понимания:
- Чем отличаются записи \([2;\ 5]\) и \((2;\ 5)\)? Принадлежит ли число 5 каждому из промежутков?
- Почему у \(+\infty\) скобка всегда круглая?
- Что получится при пересечении \([0;\ 3]\) и \([5;\ 9]\)?
На что обратить внимание. Главное — связь «нестрогий знак — квадратная скобка — закрашенная точка». Если ребёнок путается, пусть каждый раз подставляет граничное число в неравенство. Эта тема — фундамент для решения неравенств и их систем, ответы там пишут именно промежутками.