Задача 1
Пассажир проехал 120 км и вернулся поездом, идущим на 5 км/ч быстрее, затратив на 20 мин меньше. Найти скорость каждого поезда.
Решение
- путь 120 км в каждую сторону
- скорость обратного поезда на 5 км/ч больше
- время на 20 мин меньше
- скорости поездов
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого поезда, тогда \(x + 5\) км/ч — обратного. Время в пути: \(\dfrac{120}{x}\) ч и \(\dfrac{120}{x + 5}\) ч; 20 мин \(= \dfrac{1}{3}\) ч.
Умножим на \(3x(x + 5)\), где \(x > 0\), получим \(360(x + 5) - 360x = x(x + 5)\), \(1800 = x^2 + 5x\), \(x^2 + 5x - 1800 = 0\).
\(D = 25 + 7200 = 7225 = 85^2\), \(x_1 = \dfrac{-5 + 85}{2} = 40\), \(x_2 = \dfrac{-5 - 85}{2} = -45\).
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(x = 40\). Скорость обратного поезда \(40 + 5 = 45\) км/ч.
Проверка: \(\dfrac{120}{40} - \dfrac{120}{45} = 3 - 2\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\) ч \(= 20\) мин.
Ответ
Разность времён на путь туда и обратно даёт дробное уравнение, сводящееся к квадратному.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».