Задача 1
Лодка прошла 30 км по течению и вернулась, затратив 5 ч 20 мин. Скорость течения 3 км/ч. Найти скорость лодки в стоячей воде.
Решение
- путь в одну сторону 30 км
- общее время 5 ч 20 мин \(= 5\dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3}\) ч
- скорость течения 3 км/ч
- скорость лодки в стоячей воде
Пусть \(x\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде (\(x > 3\)). По течению она идёт со скоростью \(x + 3\) км/ч, против — \(x - 3\) км/ч.
\(\dfrac{30}{x + 3} + \dfrac{30}{x - 3} = \dfrac{16}{3}\).
Умножим на \(3(x + 3)(x - 3)\):
\(90(x - 3) + 90(x + 3) = 16(x^2 - 9)\),
\(180x = 16x^2 - 144\),
\(4x^2 - 45x - 36 = 0\).
\(D = 45^2 + 4 \cdot 4 \cdot 36 = 2025 + 576 = 2601 = 51^2\),
\(x_1 = \dfrac{45 + 51}{8} = 12\), \(x_2 = \dfrac{45 - 51}{8} = -0{,}75\).
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(x = -0{,}75\) не подходит. При \(x = 12\) знаменатели не равны нулю.
Ответ
Общее время складывается из времени по течению и против течения — получается дробное уравнение, сводящееся к квадратному.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».