Задача 1
Условие (кратко)
Найти все натуральные n, при которых значение дроби (9n² + 12n + 12)/n — натуральное число.
Решение
Разделим почленно:
\[\dfrac{9n^2 + 12n + 12}{n} = 9n + 12 + \dfrac{12}{n}.\]
При натуральном \(n\) число \(9n + 12\) натуральное, поэтому всё выражение натурально тогда и только тогда, когда \(\dfrac{12}{n}\) — натуральное число, то есть \(n\) — делитель числа 12.
Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ответ
1, 2, 3, 4, 6, 12
Почему так
Дробь представляют в виде суммы целого выражения и дроби с числителем-числом.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».