Задача 1
Велосипедист проехал 20 км в гору и 60 км по ровной дороге за 6 ч; в гору скорость на 5 км/ч меньше. Найти скорость на каждом участке.
Решение
- в гору 20 км
- по ровной дороге 60 км
- всё время 6 ч
- в гору скорость на 5 км/ч меньше
- скорости на участках
Пусть \(x\) км/ч — скорость по ровной дороге, тогда в гору \(x - 5\) км/ч (\(x > 5\)). Время по ровной дороге \(\dfrac{60}{x}\) ч, в гору \(\dfrac{20}{x - 5}\) ч:
Умножим обе части на \(x(x - 5)\), где \(x(x - 5) \ne 0\), и получим \(20x + 60(x - 5) = 6x(x - 5)\), \(80x - 300 = 6x^2 - 30x\), \(6x^2 - 110x + 300 = 0\), \(3x^2 - 55x + 150 = 0\).
\(D = 55^2 - 4 \cdot 3 \cdot 150 = 3025 - 1800 = 1225 = 35^2\), \(x_1 = \dfrac{55 + 35}{6} = 15\), \(x_2 = \dfrac{55 - 35}{6} = \dfrac{10}{3}\).
Корень \(\dfrac{10}{3}\) не подходит: тогда скорость в гору \(\dfrac{10}{3} - 5\) была бы отрицательной. Значит, по ровной дороге 15 км/ч, в гору \(15 - 5 = 10\) км/ч.
Проверка: \(\dfrac{20}{10} + \dfrac{60}{15} = 2 + 4 = 6\) ч.
Ответ
Время на каждом участке равно пути, делённому на скорость; сумма времён даёт дробное уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».