Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 43

Упражнение 1109 к § 43

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выяснить, пересекаются ли прямая y = x + 1 и гипербола y = 2/x; если да, найти точки пересечения.

Решение

В точке пересечения $x + 1 = \dfrac{2}{x}$ , $x \ne 0$ . Умножим на $$x$$ и получим $$x^2 + x - 2 = 0$$ , $$x_1 = 1$$ , $$x_2 = -2$$ .

При $$x = 1$$ получаем $$y = 1 + 1 = 2$$ , при $$x = -2$$ получаем $$y = -2 + 1 = -1$$ (и $\dfrac{2}{-2} = -1$ ).

Точки пересечения: $(1;\ 2)$ и $(-2;\ -1)$ . В ответах учебника указана точка $(-2;\ 1)$ — опечатка: при $$x = -2$$ обе функции равны $$-1$$ .

Ответ

Пересекаются в точках (−2; −1) и (1; 2)

Почему так

Абсциссы точек пересечения графиков — корни уравнения, полученного приравниванием правых частей.

Условие (кратко)

б) Выяснить, пересекаются ли прямая y = −2x − 2 и гипербола y = 1/x; если да, найти точки пересечения.

Решение

$-2x - 2 = \dfrac{1}{x}$ , $x \ne 0$ . Умножим на $$x$$ и получим $$-2x^2 - 2x = 1$$ , то есть $$2x^2 + 2x + 1 = 0$$ .

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -4 < 0$ — корней нет.

Значит, прямая и гипербола не пересекаются.

Ответ

Не пересекаются

Почему так

Если уравнение для абсцисс точек пересечения не имеет корней, графики не пересекаются.