Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 43

Упражнение 1111 к § 43

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать тождество ((a + 1)/(a² + 1 − 2a) + 1/(a − 1)) · (a − 1)/a − 2/(a − 1) = 0.

Решение

Заметим, что $$a^2 + 1 - 2a = (a - 1)^2$$ . Тогда

\dfrac{a + 1}{(a - 1)^2} + \dfrac{1}{a - 1} = \dfrac{a + 1 + a - 1}{(a - 1)^2} = \dfrac{2a}{(a - 1)^2}.

\dfrac{2a}{(a - 1)^2} \cdot \dfrac{a - 1}{a} = \dfrac{2}{a - 1}.

\dfrac{2}{a - 1} - \dfrac{2}{a - 1} = 0.

Тождество верно при

a \ne 0

a \ne 1

Ответ

Тождество доказано

Почему так

Знаменатель a² − 2a + 1 сворачивается в квадрат разности, после чего дроби легко складываются.

Условие (кратко)

б) Доказать тождество ((1 + x)/(x² − xy) − (1 − y)/(y² − xy)) · (x²y − y²x)/(x + y) = 1.

Решение

$$x^2 - xy = x(x - y)$$ , $$y^2 - xy = -y(x - y)$$ . Поэтому

\dfrac{1 + x}{x(x - y)} + \dfrac{1 - y}{y(x - y)} = \dfrac{y(1 + x) + x(1 - y)}{xy(x - y)} = \dfrac{y + xy + x - xy}{xy(x - y)} = \dfrac{x + y}{xy(x - y)}.

Так как

\(x^2y - y^2x = xy(x - y)\)

\dfrac{x + y}{xy(x - y)} \cdot \dfrac{xy(x - y)}{x + y} = 1.

Тождество верно при

x \ne 0

y \ne 0

x \ne y

x \ne -y

Ответ

Тождество доказано

Почему так

Знаменатели раскладываются на множители с общим множителем x − y, после чего всё сокращается.

Условие (кратко)

в) Доказать тождество 3a(1/(a − c) − c/(a³ − c³) · (a² + c² + ac)/(a + c)) − 3c²/(a² − c²) = 3.

Решение

По формуле разности кубов $$a^3 - c^3 = (a - c)(a^2 + ac + c^2)$$ , поэтому

\dfrac{c}{a^3 - c^3} \cdot \dfrac{a^2 + c^2 + ac}{a + c} = \dfrac{c}{(a - c)(a + c)}.

\dfrac{1}{a - c} - \dfrac{c}{(a - c)(a + c)} = \dfrac{a + c - c}{(a - c)(a + c)} = \dfrac{a}{a^2 - c^2}.

3a \cdot \dfrac{a}{a^2 - c^2} - \dfrac{3c^2}{a^2 - c^2} = \dfrac{3(a^2 - c^2)}{a^2 - c^2} = 3.

Тождество верно при

a \ne c

a \ne -c

Ответ

Тождество доказано

Почему так

Разность кубов сокращается с неполным квадратом суммы, дальше — вынесение общего множителя 3.