Задача 1
По графику функции y = f(x) (рис. 72, две ветви, похожие на гиперболу) выбрать верные утверждения 1)–4) об убывании, нуле x = 3, знаке на (0; 3) и знаке f(−3) + f(2).
Решение
По рисунку: левая ветвь расположена при \(x < 0\) (примерно левее \(x = -0{,}5\)), её значения отрицательны и убывают от \(-1\) до \(-\infty\). Правая ветвь начинается при \(x > 0\), значения убывают от \(+\infty\), при \(x = 3\) кривая пересекает ось \(x\) и дальше уходит под ось.
-
«Функция является убывающей» — неверно. Убывает она только на каждой ветви отдельно. Возьмём \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 1\): \(x_1 < x_2\), но \(f(-3) \approx -2 < f(1) \approx 2{,}3\). Для убывающей функции большему аргументу должно соответствовать меньшее значение, а здесь наоборот. Это та же ситуация, что с функцией \(y = \dfrac{k}{x}\): на каждом промежутке убывает, но убывающей не является.
-
\(x = 3\) — нуль функции: верно, график пересекает ось \(x\) в точке \((3;\ 0)\).
-
На \((0;\ 3)\) график лежит выше оси \(x\) — значения положительны: верно.
-
По графику \(f(-3) \approx -2\), \(f(2) \approx 0{,}4\), поэтому \(f(-3) + f(2) \approx -1{,}6 < 0\) — неверно.
В ответах учебника указано «1), 2), 3)», но утверждение 1) противоречит определению убывающей функции (пример выше), поэтому верны только 2) и 3).
Ответ
Функция убывающая, только если для любых двух значений аргумента из области определения большему аргументу соответствует меньшее значение, а не на каждом промежутке отдельно.
Подробнее — в теме «Свойства функции».