Задача 1
(Задача-исследование.) При каких a и b равенство (5x + 31)/((x − 5)(x + 2)) = a/(x − 5) + b/(x + 2) является тождеством?
Решение
Приведём правую часть к общему знаменателю:
\(\dfrac{a}{x - 5} + \dfrac{b}{x + 2} = \dfrac{a(x + 2) + b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = \dfrac{(a + b)x + (2a - 5b)}{(x - 5)(x + 2)}\).
Знаменатели одинаковы, поэтому равенство будет тождеством, если числители равны при всех \(x\), то есть равны коэффициенты:
Из первого уравнения \(b = 5 - a\); подставим: \(2a - 25 + 5a = 31\), \(7a = 56\), \(a = 8\), \(b = -3\).
Проверка: \(\dfrac{8}{x - 5} - \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{8x + 16 - 3x + 15}{(x - 5)(x + 2)} = \dfrac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)}\). Верно.
Ответ
Дроби с одинаковыми знаменателями тождественно равны, если тождественно равны их числители — приравнивают коэффициенты.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».