Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 498

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему 1/x + 1/y = 1/6, 2x − y = 5.

Решение

$x \ne 0$ , $y \ne 0$ . Первое уравнение: $$6(x + y) = xy$$ . Подставим $$y = 2x - 5$$ :

6(3x - 5) = x(2x - 5), \quad 2x^2 - 23x + 30 = 0, \quad D = 289, \quad x = \frac{23 \pm 17}{4}.

\(x = 10\)

\(y = 15\)

;

\(x = 1{,}5\)

\(y = -2\)

. Ни

\(x\)

, ни

\(y\)

не равны нулю.

Ответ

(10; 15), (1,5; −2)

Почему так

Освобождаемся от знаменателей и применяем подстановку.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему 1/x − 1/y = 1/20, x + 2y = 14.

Решение

$x, y \ne 0$ . Первое уравнение: $$20(y - x) = xy$$ . Подставим $$x = 14 - 2y$$ :

20(3y - 14) = y(14 - 2y), \quad 2y^2 + 46y - 280 = 0, \quad y^2 + 23y - 140 = 0.

\(D = 1089\)

y = \dfrac{-23 \pm 33}{2}

\(y = 5\)

(

\(x = 4\)

) или

\(y = -28\)

(

\(x = 70\)

Ответ

(4; 5), (70; −28)

Почему так

Освобождаемся от знаменателей и подставляем x = 14 − 2y.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему x + y = 14, x/y + y/x = 2 1/12.

Решение

Обозначим $t = \dfrac{x}{y}$ : $t + \dfrac1t = \dfrac{25}{12}$ , $$12t^2 - 25t + 12 = 0$$ , $t = \dfrac{25 \pm 7}{24}$ , то есть $t = \dfrac43$ или $t = \dfrac34$ .

$x = \dfrac43 y$ : $\dfrac73 y = 14$ , $$y = 6$$ , $$x = 8$$ .
$x = \dfrac34 y$ : $\dfrac74 y = 14$ , $$y = 8$$ , $$x = 6$$ .

Ответ

(8; 6), (6; 8)

Почему так

Замена t = x/y сводит дробное уравнение к квадратному.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему x − y = 2, x/y − y/x = 5/6.

Решение

$t = \dfrac{x}{y}$ : $t - \dfrac1t = \dfrac56$ , $$6t^2 - 5t - 6 = 0$$ , $$D = 169$$ , $t = \dfrac{5 \pm 13}{12}$ : $t = \dfrac32$ или $t = -\dfrac23$ .

$x = \dfrac32 y$ : $\dfrac12 y = 2$ , $$y = 4$$ , $$x = 6$$ .
$x = -\dfrac23 y$ : $-\dfrac53 y = 2$ , $$y = -1{,}2$$ , $$x = 0{,}8$$ .

Ответ

(6; 4), (0,8; −1,2)

Почему так

Замена t = x/y, затем подстановка в линейное уравнение.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-498/