Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 381 к § 19

§ 19. Уравнение с двумя переменными и его график · тема: Уравнение с двумя переменными и его график

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить неравенство 25x² + 6x ≤ 0.

Решение

$x(25x + 6) \le 0$ . Корни: $$x = 0$$ и $x = -\dfrac{6}{25} = -0{,}24$ .

Парабола $$y = 25x^2 + 6x$$ ветвями вверх, она не выше оси $$x$$ между корнями: $[-0{,}24;\ 0]$ .

Ответ

[−0,24; 0]

Почему так

Квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом неположителен между корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить неравенство x² − 169 > 0.

Решение

$$(x - 13)(x + 13) > 0$$ . Корни $\pm 13$ , парабола ветвями вверх — она выше оси $$x$$ вне отрезка между корнями: $(-\infty;\ -13) \cup (13;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; −13) ∪ (13; +∞)

Почему так

Трёхчлен с положительным старшим коэффициентом положителен левее меньшего и правее большего корня.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить неравенство 4x² − 225 ≤ 0.

Решение

$(2x - 15)(2x + 15) \le 0$ . Корни $x = \pm 7{,}5$ . Парабола ветвями вверх не выше оси $$x$$ на отрезке между корнями: $[-7{,}5;\ 7{,}5]$ .

Ответ

[−7,5; 7,5]

Почему так

Неравенство вида ax² − c ≤ 0 при a > 0 выполняется между корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить неравенство y² < 10y + 24.

Решение

$$y^2 - 10y - 24 < 0$$ . Корни: $$D = 100 + 96 = 196$$ , $\ y = \dfrac{10 \pm 14}{2}$ , то есть $$-2$$ и $$12$$ .

Парабола ветвями вверх ниже оси между корнями: $(-2;\ 12)$ .

Ответ

(−2; 12)

Почему так

Переносим всё в одну часть и решаем квадратное неравенство по корням трёхчлена.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить неравенство 15y² + 30 > 22y + 7.

Решение

$$15y^2 - 22y + 23 > 0$$ . $D = 22^2 - 4 \cdot 15 \cdot 23 = 484 - 1380 = -896 < 0$ .

Корней нет, старший коэффициент положителен — парабола целиком выше оси, неравенство верно при любом $$y$$ .

Ответ

y — любое число

Почему так

При D < 0 и a > 0 квадратный трёхчлен положителен при всех значениях переменной.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить неравенство 3y² − 7 ≤ 26y + 70.

Решение

$3y^2 - 26y - 77 \le 0$ . $$D = 676 + 924 = 1600$$ , $\ y = \dfrac{26 \pm 40}{6}$ , то есть $$11$$ и $-\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}$ .

Парабола ветвями вверх не выше оси между корнями: $\left[-2\dfrac{1}{3};\ 11\right]$ .

Ответ

[−2 1/3; 11]

Почему так

Нестрогое неравенство включает корни трёхчлена в ответ.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки