Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 22

Упражнение 443 к § 22

§ 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени · тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Задача 1

Условие (кратко)

а) Приведите пример отрицательного числа, не являющегося рациональным, и покажите его положение на координатной прямой.

Решение

Подходит, например, $-\sqrt{2}$ : число $\sqrt{2}$ иррационально, значит, и $-\sqrt{2}$ иррационально, и оно отрицательно.

Так как $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$ , то $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$ , а $-1{,}5 < -\sqrt{2} < -1{,}4$ . На координатной прямой точка $-\sqrt{2} \approx -1{,}41$ лежит между $$-2$$ и $$-1$$ , ближе к $$-1$$ .

Ответ

Например, −√2 ≈ −1,41 (между −2 и −1)

Почему так

Число, противоположное иррациональному, тоже иррационально.

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Приведите пример рационального числа, заключённого между √2 и √3, и покажите его положение на координатной прямой.

Решение

Оценим корни: $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$ , поэтому $\sqrt{2} < 1{,}5$ ; $1{,}7^2 = 2{,}89 < 3 < 3{,}24 = 1{,}8^2$ , поэтому $\sqrt{3} > 1{,}7$ .

Значит, рациональное число $$1{,}5$$ (а также, например, $$1{,}6$$ ) лежит между ними: $\sqrt{2} \approx 1{,}41 < 1{,}5 < 1{,}73 \approx \sqrt{3}$ . Его точка на прямой — посередине между 1 и 2.

Ответ

Например, 1,5

Почему так

Сравнивают квадраты положительных чисел: 1,5² = 2,25 лежит между 2 и 3.

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Приведите пример иррационального отрицательного числа и покажите его положение на координатной прямой.

Решение

Подходит, например, $-\pi \approx -3{,}14$ : число $\pi$ иррационально, значит, и $-\pi$ тоже.

На координатной прямой точка $-\pi$ лежит между $$-4$$ и $$-3$$ , чуть левее $$-3$$ .

Ответ

Например, −π ≈ −3,14 (между −4 и −3)

Почему так

Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятичная дробь; со знаком минус оно остаётся иррациональным.

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Приведите пример иррационального числа, большего 1/3 и меньшего 1/2, и покажите его положение на координатной прямой.

Решение

Возьмём $\sqrt{0{,}2}$ . Сравним квадраты: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111$ , $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 0{,}25$ , и $$0{,}111 < 0{,}2 < 0{,}25$$ . Значит, $\dfrac{1}{3} < \sqrt{0{,}2} < \dfrac{1}{2}$ .

Число $$0{,}2$$ не является квадратом рационального числа, поэтому $\sqrt{0{,}2} \approx 0{,}447$ иррационально. Другой пример — $0{,}4101001000100001\ldots$ (число нулей растёт). На прямой точка $\sqrt{0{,}2}$ лежит между 0 и 1, немного левее $\dfrac{1}{2}$ .

Ответ

Например, √0,2 ≈ 0,447

Почему так

Положительные числа сравнивают по квадратам: 1/9 < 0,2 < 1/4.

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки