Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 22

Упражнение 446 к § 22

§ 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени · тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите неравенство x² − 6x < 0.

Решение

$$x^2 - 6x = x(x - 6)$$ , нули: $$x = 0$$ и $$x = 6$$ . Парабола $$y = x^2 - 6x$$ ветвями вверх ниже оси $$x$$ между нулями.

Значит, $$x(x - 6) < 0$$ при $$0 < x < 6$$ .

Ответ

(0; 6)

Почему так

Квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом отрицателен между своими корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите неравенство 8x + x² ≥ 0.

Решение

$$x^2 + 8x = x(x + 8)$$ , нули: $$x = -8$$ и $$x = 0$$ . Парабола ветвями вверх не ниже оси $$x$$ вне промежутка между нулями, включая сами нули.

Значит, $x \le -8$ или $x \ge 0$ .

Ответ

(−∞; −8] ∪ [0; +∞)

Почему так

Трёхчлен с положительным старшим коэффициентом неотрицателен вне интервала между корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите неравенство x² ≤ 4.

Решение

$x^2 - 4 \le 0$ , $(x - 2)(x + 2) \le 0$ , нули: $$x = -2$$ и $$x = 2$$ . Парабола $$y = x^2 - 4$$ не выше оси $$x$$ на отрезке между нулями.

Значит, $-2 \le x \le 2$ .

Ответ

[−2; 2]

Почему так

Неравенство x² ≤ a² при a > 0 равносильно −a ≤ x ≤ a.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решите неравенство x² > 6.

Решение

$$x^2 - 6 > 0$$ , $(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) > 0$ , нули: $x = -\sqrt{6}$ и $x = \sqrt{6}$ . Парабола ветвями вверх выше оси $$x$$ левее меньшего и правее большего нуля.

Значит, $x < -\sqrt{6}$ или $x > \sqrt{6}$ .

Ответ

(−∞; −√6) ∪ (√6; +∞)

Почему так

Трёхчлен с положительным старшим коэффициентом положителен вне интервала между корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки