Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что при любом x верно неравенство \(6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0\).
Решение
Раскроем скобки: \(6x(x + 8) = 6x^2 + 48x\); \((5x - 27)(x + 17) = 5x^2 + 85x - 27x - 459 = 5x^2 + 58x - 459\).
Разность: \(6x^2 + 48x - 5x^2 - 58x + 459 = x^2 - 10x + 459\).
Выделим полный квадрат: \(x^2 - 10x + 459 = (x - 5)^2 + 434\).
\((x - 5)^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), значит, \((x - 5)^2 + 434 \geqslant 434 > 0\). Неравенство доказано.
Ответ
Левая часть равна (x − 5)² + 434, а это не меньше 434 при любом x
Почему так
Выделение полного квадрата показывает, что трёхчлен с отрицательным дискриминантом и a > 0 всегда положителен.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».