Задача 1
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт система y ≥ x², 2y + x ≤ 5.
Решение
Неравенство \(y \ge x^2\) задаёт точки на параболе \(y = x^2\) и внутри неё (выше).
Второе неравенство: \(y \le \dfrac{5 - x}{2}\) — точки на прямой \(y = 2{,}5 - 0{,}5x\) и ниже её. Прямая проходит через \((5;\ 0)\) и \((-1;\ 3)\).
Точки пересечения: \(x^2 = \dfrac{5 - x}{2}\), \(2x^2 + x - 5 = 0\), \(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}\), то есть \(x \approx -1{,}85\) и \(x \approx 1{,}35\).
Множество решений — ограниченная область между параболой (снизу) и прямой (сверху) при \(-1{,}85 \lesssim x \lesssim 1{,}35\); граница входит. Например, точка \((0;\ 1)\) подходит: \(1 \ge 0\) и \(2 \le 5\).
Ответ
Решение системы неравенств — пересечение множеств решений каждого неравенства.
Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».