Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 29

Упражнение 614 к § 29

§ 29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии · тема: Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решите неравенство 2x² − 13x − 34 ≥ 0.

Решение

Корни трёхчлена: $$D = 169 + 272 = 441 = 21^2$$ , $x = \dfrac{13 \pm 21}{4}$ , $$x_1 = -2$$ , $x_2 = 8{,}5$ .

Ветви параболы $$y = 2x^2 - 13x - 34$$ направлены вверх, она неотрицательна левее меньшего корня и правее большего, включая сами корни.

$x \in (-\infty;\ -2] \cup [8{,}5;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; −2] ∪ [8,5; +∞)

Почему так

Квадратный трёхчлен с a > 0 неотрицателен вне промежутка между корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решите неравенство 10x − 4x² < 0.

Решение

$$10x - 4x^2 = 2x(5 - 2x)$$ , корни $$x = 0$$ и $$x = 2{,}5$$ .

Ветви параболы $$y = -4x^2 + 10x$$ направлены вниз, отрицательные значения — вне промежутка между корнями, сами корни не входят (неравенство строгое).

$x \in (-\infty;\ 0) \cup (2{,}5;\ +\infty)$ .

Ответ

(−∞; 0) ∪ (2,5; +∞)

Почему так

Квадратный трёхчлен с a < 0 отрицателен вне промежутка между корнями.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решите неравенство (x − 4)/(2x + 5) ≤ 0.

Решение

Нуль числителя $$x = 4$$ (входит в ответ), нуль знаменателя $$x = -2{,}5$$ (не входит — на нуль делить нельзя).

Знаки дроби на промежутках: при $$x > 4$$ — «+», при $$-2{,}5 < x < 4$$ — «−», при $$x < -2{,}5$$ — «+».

$x \in (-2{,}5;\ 4]$ .

Ответ

(−2,5; 4]

Почему так

Метод интервалов: нуль знаменателя всегда исключается, нуль числителя входит при нестрогом знаке.

Подробнее — в теме «Решение неравенств методом интервалов».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки