Задача 1
Какую фигуру задаёт на координатной плоскости система неравенств 3x − y ≥ 0, y − 5 ≥ 0?
Решение
Первое неравенство: \(y \le 3x\) — полуплоскость под прямой \(y = 3x\) вместе с прямой.
Второе: \(y \ge 5\) — полуплоскость над прямой \(y = 5\) вместе с прямой.
Прямые пересекаются, когда \(3x = 5\), в точке \(\left(\dfrac{5}{3};\ 5\right)\). Общая часть двух полуплоскостей — угол с вершиной в этой точке: одна его сторона — луч прямой \(y = 5\) при \(x \ge \dfrac{5}{3}\), другая — луч прямой \(y = 3x\) при \(x \ge \dfrac{5}{3}\). Стороны входят в множество, так как неравенства нестрогие. Например, точка \((3;\ 6)\) подходит: \(9 - 6 \ge 0\), \(6 - 5 \ge 0\).
Ответ
Множество решений системы — общая часть полуплоскостей, задаваемых её неравенствами.
Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».