Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 60 к § 4

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему x − y = 1, xy = 240.

Решение

Из первого уравнения $$x = y + 1$$ . Подставляем во второе:

$$(y+1)y = 240$$ , $$y^2 + y - 240 = 0$$ .

$$D = 1 + 960 = 961 = 31^2$$ , $y = \dfrac{-1 \pm 31}{2}$ , то есть $$y_1 = 15$$ , $$y_2 = -16$$ .

Тогда $$x_1 = 16$$ , $$x_2 = -15$$ .

Проверка: $16 \cdot 15 = 240$ , $(-15) \cdot (-16) = 240$ .

Ответ

(16; 15), (−15; −16)

Почему так

Систему решаем подстановкой — выражаем x из линейного уравнения и получаем квадратное уравнение.

Условие (кратко)

б) Решить систему x² + y² = 65, 2x − y = 15.

Решение

Из второго уравнения $$y = 2x - 15$$ . Подставляем в первое:

$$x^2 + (2x - 15)^2 = 65$$ , $$5x^2 - 60x + 225 = 65$$ , $$5x^2 - 60x + 160 = 0$$ , $$x^2 - 12x + 32 = 0$$ .

По теореме Виета $$x_1 = 4$$ , $$x_2 = 8$$ .

Тогда $y_1 = 2 \cdot 4 - 15 = -7$ , $y_2 = 2 \cdot 8 - 15 = 1$ .

Проверка: $$16 + 49 = 65$$ , $$64 + 1 = 65$$ .

Ответ

(4; −7), (8; 1)

Почему так

Подстановка y из линейного уравнения сводит систему к квадратному уравнению относительно x.