Задача 1
Условие (кратко)
Решите уравнение (x + 3)² − (x − 3)² = (x − 2)² + (x + 2)² и отметьте его корни на координатной прямой.
Решение
Левая часть: \((x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x\).
Правая часть: \((x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 8\).
\(12x = 2x^2 + 8\), \(x^2 - 6x + 4 = 0\), \(D = 36 - 16 = 20\),
\[x = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}.\]
На прямой: \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\), поэтому \(x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 0{,}76\) (между 0 и 1), \(x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 5{,}24\) (между 5 и 6).
Ответ
x = 3 − √5 ≈ 0,76; x = 3 + √5 ≈ 5,24
Почему так
После раскрытия скобок уравнение сводится к квадратному x² − 6x + 4 = 0.
Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».