Задание 800

Нужно решить неравенство \(\dfrac{12 - 1{,}5b}{5} < \dfrac{11 - 0{,}5b}{2}\).

Умножим на 10: \(2(12 - 1{,}5b) < 5(11 - 0{,}5b)\), \(24 - 3b < 55 - 2{,}5b\).

\(-0{,}5b < 31\), \(b > -62\).

Решим \(\dfrac{1{,}4 + b}{4} > \dfrac{2{,}6 + 3b}{2}\).

Умножим на 4: \(1{,}4 + b > 5{,}2 + 6b\), \(-5b > 3{,}8\), \(b < -0{,}76\).

«Не превосходит» — значит «меньше или равно»: \(\dfrac{6b - 1}{b} \le \dfrac{16 - 2b}{9 - b}\), причём \(b \ne 0\), \(b \ne 9\).

Знаменатели содержат \(b\), их знак неизвестен, поэтому умножать на них нельзя. Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

\(\dfrac{(6b - 1)(9 - b) - b(16 - 2b)}{b(9 - b)} \le 0\).

Числитель: \(54b - 6b^2 - 9 + b - 16b + 2b^2 = -4b^2 + 39b - 9\).

Умножим числитель и знаменатель на \(-1\) (дробь не изменится): \(\dfrac{4b^2 - 39b + 9}{b(b - 9)} \le 0\).

Нули числителя: \(D = 39^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1521 - 144 = 1377 = 81 \cdot 17\), \(b_{1,2} = \dfrac{39 \pm 9\sqrt{17}}{8}\), \(b_1 \approx 0{,}24\), \(b_2 \approx 9{,}51\). Нули знаменателя: 0 и 9.

Метод интервалов, точки по порядку: \(0 < b_1 < 9 < b_2\). Справа от \(b_2\) дробь положительна, дальше знаки чередуются: \(+\) на \((-\infty;\ 0)\), \(-\) на \((0;\ b_1)\), \(+\) на \((b_1;\ 9)\), \(-\) на \((9;\ b_2)\), \(+\) правее \(b_2\).

Нули числителя входят в ответ, нули знаменателя — нет: \(\left(0;\ \dfrac{39 - 9\sqrt{17}}{8}\right] \cup \left(9;\ \dfrac{39 + 9\sqrt{17}}{8}\right]\).

Границы получаются иррациональными — так выходит при условии, как оно напечатано (к этому пункту в ответах учебника ответа нет).